(2,0 pontos) Verdadeiro ou Falso? Se for verdadeiro, demonstre. Se for falso, justifique.
(a) Dadas duas matrizes A e B quadradas de mesma ordem, tem-se A B=B A.
(b) Uma matriz quadrada antissimétrica tem necessariamente a diagonal principal nula.

Passo 1

O enunciado pede para analisar duas afirmações envolvendo matrizes quadradas de mesma ordem:
(a) Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Será que sempre vale AB=BA?
(b) Se A é matriz quadrada antissimétrica ( A^T=-A), então sua diagonal principal é necessariamente nula?
Para responder, vamos usar o fato de que multiplicação de matrizes não é, em geral, comutativa, e a definição de matriz antissimétrica.

Passo 2

Analisando (a): a multiplicação de matrizes em geral não é comutativa. Basta um contra-exemplo em ordem 2.
Considere
A = 0 & 1[6pt]0 & 0, B = 0 & 0[6pt]1 & 0
Calculamos
AB = 0 & 1[3pt]0 & 0 0 & 0[3pt]1 & 0 = 1 & 0[3pt]0 & 0,
enquanto
BA = 0 & 0[3pt]1 & 0 0 & 1[3pt]0 & 0 = 0 & 0[3pt]0 & 1
Como 1&00&0neq0&00&1, concluímos que em geral ABneq BA.]

Passo 3

Analisando (b): seja A=(aij) uma matriz quadrada antissimétrica, isto é,
A^T = -A
Pela definição de transposta, o elemento (i,i) de A^T é aii. Da igualdade A^T=-A vem
aii = -,aii Longrightarrow 2,aii=0 Longrightarrow aii=0
Logo, toda matriz antissimétrica tem necessariamente zeros na diagonal principal.

Resposta

(a) Falso.
(b) Verdadeiro.

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