(2,0 pontos) Verdadeiro ou Falso? Se for verdadeiro, demonstre. Se for falso, justifique.
(a) Dadas duas matrizes
e
quadradas de mesma ordem, tem-se
.
(b) Uma matriz quadrada antissimétrica tem necessariamente a diagonal principal nula.
(a) Dadas duas matrizes
(b) Uma matriz quadrada antissimétrica tem necessariamente a diagonal principal nula.
Passo 1
O enunciado pede para analisar duas afirmações envolvendo matrizes quadradas de mesma ordem:
(a) Sejam
e
matrizes quadradas de mesma ordem. Será que sempre vale
?
(b) Se é matriz quadrada antissimétrica (
), então sua diagonal principal é necessariamente nula?
(b) Se
Para responder, vamos usar o fato de que multiplicação de matrizes não é, em geral, comutativa, e a definição de matriz antissimétrica.
Passo 2
Analisando (a): a multiplicação de matrizes em geral não é comutativa. Basta um contra-exemplo em ordem
.
Considere
Calculamos
enquanto
Como
, concluímos que em geral
.]
Passo 3
Analisando (b): seja
uma matriz quadrada antissimétrica, isto é,
Pela definição de transposta, o elemento
de
é
. Da igualdade
vem
Logo, toda matriz antissimétrica tem necessariamente zeros na diagonal principal.
Resposta
(a) Falso.
(b) Verdadeiro.
(b) Verdadeiro.