(2,0 pontos) Consideremos a matriz C=(lll2 & 1 & 0 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2).
(a) Decida se C é invertível. Se for invertível, determine a sua inversa C^-1. Se não for invertível, justifique.
(b) Sem resolver o sistema linear homogêneo C X=0, é possível determinar o seu conjunto solução? Justifique!

Passo 1

O enunciado dá a matriz
C = 2 & 1 & 0 [3pt] 1 & 2 & 1 [3pt] 0 & 1 & 2
em R^3times 3. Na parte (a) vamos verificar se C é invertível, calculando det(C) e, caso seja não nulo, determinar C^-1. Na parte (b) exploramos o conjunto solução do sistema homogêneo
C,X = 0
sem resolver diretamente as equações.]

Passo 2

Calculamos det(C) por expansão na primeira linha:
det(C) = 2cdotdet!2 & 1 1 & 2 -1cdotdet!1 & 1 0 & 2 +0cdotdet!1 & 2 0 & 1
Como
det2 & 1 1 & 2=4-1=3
e
det1 & 1 0 & 2=2,
segue que
det(C) = 2cdot3 - 1cdot2 = 6 - 2 = 4
Como det(C)=4neq0, C é invertível.

Passo 3

Usamos
C^-1 = 1det(C),adj(C),
onde adj(C) é a transposta da matriz de cofatores. Calculando os cofatores de C obtemos
adj(C) = 3 & -2 & 1 [3pt] -2 & 4 & -2 [3pt] 1 & -2 & 3
Portanto
C^-1 = 14 3 & -2 & 1 [3pt] -2 & 4 & -2 [3pt] 1 & -2 & 3 ]

Passo 4

Uma matriz invertível só admite a solução trivial no sistema homogêneo. Como C é invertível, o único vetor X que satisfaz
C,X = 0
é X=l(0,0,0r)^T.

Resposta

(a) C é invertível pois det(C)=4neq0 e
C^-1 = 14 3 & -2 & 1 [3pt] -2 & 4 & -2 [3pt] 1 & -2 & 3
(b) O conjunto solução de C,X=0 é
,(0,0,0)^T,
]

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