(3,5 pontos) Consideremos o sistema linear lx+y-z=1 2 x+3 y+k z=3 x+k y+3 z=2.
a) Determine os valores de k para os quais o sistema
i) tenha solução única;
ii. não tenha nenhuma solução;
iii. tenha mais de uma solução.
(b) Expresse o conjunto solução no caso em que o sistema linear é possível e indeterminado.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com parâmetro k:
x + y - z = 1, 2x + 3y + k z = 3, x + k y + 3z = 2
O que precisamos é estudar o determinante da matriz dos coeficientes para decidir quando há solução única, nenhuma ou infinitas, e em seguida, no caso indeterminado, escrever a solução geral.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & -1 2 & 3 & k 1 & k & 3
e calculamos det(A) por cofactores na primeira linha:
det(A) =1cdotl(3cdot3 - kcdot kr) -1cdotl(2cdot3 - kcdot1r) +(-1)cdotl(2cdot k - 3cdot1r)
Simplificando,
det(A) =9 - k^2 - (6 - k) - (2k - 3) =9 - k^2 - 6 + k - 2k + 3 =6 - k - k^2 =-(k^2 + k - 6) =-(k-2)(k+3)

Passo 3

Para ter solução única precisamos de det(A)neq 0, ou seja
-(k-2)(k+3)neq 0 Long<=ftrightarrow kneq 2, kneq -3

Passo 4

Agora analisamos os casos singulares.
Para
Da primeira . Ao colocar tudo na terceira equação vê-se que ela é satisfeita identicamente, então há infinitas soluções (um grau de liberdade).

Passo 5

Para
De novo . Mas então na terceira:
logo o sistema é inconsistente e não tem solução.

Passo 6

Resumo dos resultados:
i) Solução única se det(A)neq0, isto é, kneq2 e kneq -3.
ii) Sem solução se k=-3.
iii) Infinitas soluções se k=2.
Além disso, quando k=2, introduzimos parâmetro t=z e achamos
x=5t, y=1-4t, z=t,
ou seja
(x,y,z)mid x=5t, y=1-4t, z=t, tinR

Resposta

a)
i) kneq2 e kneq -3.
ii) k=-3.
iii) k=2.
b) Para k=2,
(x,y,z) = (5t,;1-4t,;t), tinR

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