A pontuação máxima é 10,0 .
Seja a curva em definida pelo triângulo de vértices e , orientada no sentido anti-horário. Dado o campo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial F(x, y) ao longo de uma curva C que é um triângulo com vértices em (0,0), (3,1) e (3,0), percorrida no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização das curvas e a integração de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a curva C em três segmentos, correspondentes aos lados do triângulo:
De (0,0) até (3,1)
De (3,1) até (3,0)
De (3,0) até (0,0)
Vamos calcular a integral em cada segmento separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro segmento, de (0,0) até (3,1). Podemos parametrizar essa linha usando um parâmetro t que varia de 0 a 1:
x(t) = 0 + 3t = 3t
y(t) = 0 + t = t
dxdt = 3, dydt = 1
Então, o vetor diferencial dr é:
dr = dxdt i + dydt j = 3i + j
Passo 4
Agora, substituímos x(t) e y(t) no campo vetorial F(x, y):
F(3t, t) = [ln (1 + e^3t) - t e^-(3t)^2] i + [2(3t) + sin(t^2)] j = [ln (1 + e^3t) - t e^-9t^2] i + [6t + sin(t^2)] j