Considere a seguinte equação linear de primeira ordem
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e, depois substitua na equação (2) para encontrar a solução. Essa técnica é conhecida como variação dos parâmetros.
Passo 1
A equação dada é uma equação diferencial linear de primeira ordem no formato
. Para resolver usando variação de parâmetros, vamos precisar da solução da homogênea e de um fator de variação que chamaremos de
.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea
. Separando variáveis ou reconhecendo que é de coeficiente linear constante em
, obtemos o denominador de integração
e a solução
Passo 3
Agora aplicamos variação de parâmetros, assumindo que a constante
vire uma função
. Assim propomos
Passo 4
Calculamos a derivada de
e substituímos na equação original:
Substituindo em
Passo 5
Isolamos
e integramos para encontrar
:
Passo 6
Por fim, substituímos
de volta em
e incluímos a constante da homogênea para obter a solução geral: