Considere a seguinte equação linear de primeira ordem
y^prime+p(t) y=g(t)
Encontre A(t) e, depois substitua na equação (2) para encontrar a solução. Essa técnica é conhecida como variação dos parâmetros.

Passo 1

A equação dada é uma equação diferencial linear de primeira ordem no formato y'+p(t)y=g(t). Para resolver usando variação de parâmetros, vamos precisar da solução da homogênea e de um fator de variação que chamaremos de A(t).

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea y'+p(t)y=0. Separando variáveis ou reconhecendo que é de coeficiente linear constante em y, obtemos o denominador de integração P(t)=integral p(t),dt e a solução
yh(t)=C,e^-P(t)

Passo 3

Agora aplicamos variação de parâmetros, assumindo que a constante C vire uma função A(t). Assim propomos
y(t)=A(t),e^-P(t)

Passo 4

Calculamos a derivada de y e substituímos na equação original:
y'(t)=A'(t)e^-P(t)-A(t)p(t)e^-P(t)
Substituindo em y'+p(t)y=g(t) cancelam-se os termos com A(t)p(t)e^-P(t) e sobra
A'(t)e^-P(t)=g(t)

Passo 5

Isolamos A'(t) e integramos para encontrar A(t):
A'(t)=g(t)e^P(t)
A(t)=integral g(t)e^P(t),dt

Passo 6

Por fim, substituímos A(t) de volta em y(t)=A(t)e^-P(t) e incluímos a constante da homogênea para obter a solução geral:
y(t)=e^-integral p(t),dtgl(integral g(t)e^integral p(t),dt,dt+Cgr)

Resposta

y(t)=e^-integral p(t),dt(integral g(t)e^integral p(t),dt,dt+C)

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