Sabendo-se que A é negativo e que lim x A^- 4 A x+4 A^2|5 x+5 A|=A+1, é correto afirmar que:
A=-1

Passo 1

A questão pede para encontrar o valor de A (sabendo que A é negativo) tal que
limxto A^- 4Ax+4A^2|5x+5A|=A+1
O conteúdo envolve limites com valor absoluto e fatoração.

Passo 2

Primeiro fatoramos o numerador:
4Ax+4A^2=4A(x+A)
Então a expressão fica
4A(x+A)|5(x+A)|

Passo 3

Como x tende a A pela esquerda (x\to A^-) e A é negativo, temos x<A então x+A<2A<0. Logo 5(x+A)<0 e
|5(x+A)|=-5(x+A)

Passo 4

Substituindo essa propriedade no quociente, obtemos
4A(x+A)|5(x+A)|=4A(x+A)-5(x+A)=-4A5,
pois x+A\neq0 próximo de x=A.

Passo 5

Impondo a condição do limite, temos
-4A5=A+1
Multiplicando por 5 e rearranjando, vem
-4A=5A+5Rightarrow -9A=5Rightarrow A=-59

Passo 6

Verificamos que A=-5/9 é realmente negativo, conforme exigido no enunciado.

Resposta

A=-5/9

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