A população de bactérias em um laboratório cresce de forma proporcional à quantidade atual, mas há limitação de recursos, de modo que a taxa de crescimento diminui à medida que a população se aproxima de 1000 indivíduos.
Sabe-se que inicialmente havia 100 bactérias.
a) Modele o problema por uma equação diferencial.
b) Resolva a equação diferencial para encontrar P(t).
c) Determine a população após 5 unidades de tempo.

Passo 1

O enunciado e o que se pede:
  • Dados do problema:
    • A população de bactérias no tempo t é P(t).
    • Crescimento “proporcional à quantidade atual” e com limitação de recursos, tal que a taxa de crescimento diminui quando P se aproxima de 1000. Ou seja, há uma capacidade de suporte igual a 1000 indivíduos.
    • Condição inicial: P(0)=100.
  • Perguntas:
    • (a) Modelar por uma equação diferencial.
    • (b) Resolver a equação diferencial para encontrar P(t).
    • (c) Determinar a população após 5 unidades de tempo, isto é P(5).

Passo 2

Montando o modelo: explicar e escrever a equação diferencial.
  • Quando o crescimento é proporcional à população, sem limitação, usa-se \dfrac{dP}{dt}=kP, com k>0 a taxa intrínseca de crescimento.
  • A presença de limitação (capacidade de suporte) que faz a taxa diminuir quando P se aproxima de 1000 é modelada multiplicando por um fator que tende a zero quando P\to1000. A forma clássica é 1-\dfrac{P}{1000}.
  • Assim o modelo logístico é
\frac{dP}{dt}=k\,P\left(1-\frac{P}{1000}\right),
onde k>0 é uma constante (taxa de crescimento intrínseca). Esta é a resposta da parte (a).

Passo 3

Estratégia de solução (passo-a-passo didático).
  • A equação é separável: podemos escrever todos os termos com P de um lado e t do outro e integrar.
  • Para simplificar a escrita, chamo K=1000. Então
\frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right).
  • Separe as variáveis:
\frac{dP}{P(1-P/K)} = k\,dt.
Agora vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo pede decomposição em frações parciais; vou mostrar detalhadamente.

Passo 4

Integração pelo método de frações parciais.
  • Reescrevendo o integrando do lado esquerdo:
\frac{1}{P(1-P/K)}=\frac{1}{P\left(\dfrac{K-P}{K}\right)}=\frac{K}{P(K-P)}.
  • Fazendo a decomposição em frações parciais para \dfrac{1}{P(K-P)}: suponha
\frac{1}{P(K-P)}=\frac{A}{P}+\frac{B}{K-P}.
Multiplicando por P(K-P) obtemos
1 = A(K-P)+B P = AK + (B-A)P.
Igualando coeficientes: do termo constante AK=1 vem A=\dfrac{1}{K}. Do coeficiente de P vem B-A=0 então B=A=\dfrac{1}{K}.
  • Logo
\frac{1}{P(K-P)}=\frac{1}{K}\left(\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}\right).
  • Voltando ao integrando com o fator K:
\frac{K}{P(K-P)}=\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}.
  • Agora integramos:
\int \frac{dP}{P(1-P/K)} = \int\!\left(\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}\right)\,dP.
Note que \int \dfrac{1}{K-P}\,dP = -\ln|K-P| (pois a derivada de K-P é -1). Portanto
\int\!\left(\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}\right)\,dP = \ln|P| - \ln|K-P| + C.
  • Igualando à integração do lado direito:
\ln\!\left(\frac{P}{K-P}\right) = k t + C.

Passo 5

Resolver para P(t) e aplicar condição inicial.
  • Exponenciando ambos os lados:
\frac{P}{K-P} = C_1 e^{k t},
onde C_1=e^{C} é uma constante positiva.
  • Isolando P:
P = (K-P)\,C_1 e^{k t} \quad\Rightarrow\quad P\big(1 + C_1 e^{k t}\big) = K C_1 e^{k t}.
Portanto
P(t)=\frac{K C_1 e^{k t}}{1 + C_1 e^{k t}}.
É comum reescrever na forma
P(t)=\frac{K}{1 + C_2 e^{-k t}},
onde C_2=1/C_1. Agora aplicamos P(0)=100 com K=1000:
100 = P(0)=\frac{1000}{1 + C_2}.
Daí 1 + C_2 = \dfrac{1000}{100}=10, então C_2=9.
  • Logo a solução particular (resposta da parte (b)) é
P(t)=\frac{1000}{1 + 9 e^{-k t}}.

Passo 6

Calcular a população após 5 unidades de tempo.
  • Substituindo t=5 na expressão de P(t):
P(5)=\frac{1000}{1 + 9 e^{-5k}}.
Isto responde a parte (c). Observação importante: sem um valor numérico para k não é possível dar um número concreto; a expressão acima dá P(5) em função de k. Se for fornecido algum valor para k, basta substituir nessa fórmula e calcular.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dP}{dt}=k\,P\left(1-\frac{P}{1000}\right)
(b) \displaystyle P(t)=\frac{1000}{1+9e^{-k t}}
(c) \displaystyle P(5)=\frac{1000}{1+9e^{-5k}}

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