A população de bactérias em um laboratório cresce de forma proporcional à quantidade atual, mas há limitação de recursos, de modo que a taxa de crescimento diminui à medida que a população se aproxima de 1000 indivíduos.
Sabe-se que inicialmente havia 100 bactérias.
a) Modele o problema por uma equação diferencial.
b) Resolva a equação diferencial para encontrar
.
c) Determine a população após 5 unidades de tempo.
a) Modele o problema por uma equação diferencial.
b) Resolva a equação diferencial para encontrar
c) Determine a população após 5 unidades de tempo.
Passo 1
O enunciado e o que se pede:
- Dados do problema:
- A população de bactérias no tempo
é . - Crescimento “proporcional à quantidade atual” e com limitação de recursos, tal que a taxa de crescimento diminui quando
se aproxima de . Ou seja, há uma capacidade de suporte igual a indivíduos. - Condição inicial:
.
- A população de bactérias no tempo
- Perguntas:
- (a) Modelar por uma equação diferencial.
- (b) Resolver a equação diferencial para encontrar
. - (c) Determinar a população após
unidades de tempo, isto é .
Passo 2
Montando o modelo: explicar e escrever a equação diferencial.
- Quando o crescimento é proporcional à população, sem limitação, usa-se
, com a taxa intrínseca de crescimento. - A presença de limitação (capacidade de suporte) que faz a taxa diminuir quando
se aproxima de é modelada multiplicando por um fator que tende a zero quando . A forma clássica é . - Assim o modelo logístico é
onde
é uma constante (taxa de crescimento intrínseca). Esta é a resposta da parte (a).
Passo 3
Estratégia de solução (passo-a-passo didático).
- A equação é separável: podemos escrever todos os termos com
de um lado e do outro e integrar. - Para simplificar a escrita, chamo
. Então
- Separe as variáveis:
Agora vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo pede decomposição em frações parciais; vou mostrar detalhadamente.
Passo 4
Integração pelo método de frações parciais.
- Reescrevendo o integrando do lado esquerdo:
- Fazendo a decomposição em frações parciais para
: suponha
Multiplicando por
obtemos
Igualando coeficientes: do termo constante
vem
. Do coeficiente de
vem
então
.
- Logo
- Voltando ao integrando com o fator
:
- Agora integramos:
Note que
(pois a derivada de
é
). Portanto
- Igualando à integração do lado direito:
Passo 5
Resolver para
e aplicar condição inicial.
- Exponenciando ambos os lados:
onde
é uma constante positiva.
- Isolando
:
Portanto
É comum reescrever na forma
onde
. Agora aplicamos
com
:
Daí
, então
.
- Logo a solução particular (resposta da parte (b)) é
Passo 6
Calcular a população após
unidades de tempo.
- Substituindo
na expressão de :
Isto responde a parte (c). Observação importante: sem um valor numérico para
não é possível dar um número concreto; a expressão acima dá
em função de
. Se for fornecido algum valor para
, basta substituir nessa fórmula e calcular.
Resposta
(a)
(b)
(c)