1. A população de uma cidade está crescendo de acordo com a função
P(t)=\frac{20000}{20+40 e^{-0,2 t}}
(a) Achar a assíntota horizontal.
(b) Interprete o resultado da assíntota horizontal à direita.
Acharemos as assíntotas horizontais calculando os valores limites quando t \longrightarrow+\infty e t \longrightarrow-\infty. Assim,
\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{20000}{20+40 e^{-0,2 t}}=1000 e \lim _{t \rightarrow-\infty} \frac{20000}{20+40 e^{-0,2 t}}=0
As assintotas horizontais são as retas y=1000 e y=0.
(b) O limite quando t \longrightarrow \infty,nos fala da população após longo período de tempo que irá estabilizar-se em torno do valor P=1000.

Passo 1

O enunciado dá a função de crescimento populacional
P(t)=\frac{20000}{20+40e^{-0,2t}}
e pede as assíntotas horizontais (que vêm dos limites em t\to+\infty e t\to-\infty) e a interpretação da assíntota à direita (quando t\to+\infty).

Passo 2

Para encontrar a assíntota horizontal à direita, calculamos
\lim_{t\to+\infty}P(t) =\lim_{t\to+\infty}\frac{20000}{20+40e^{-0,2t}}.
Como e^{-0,2t}\to0 quando t\to+\infty, o denominador tende a 20. Logo,
\lim_{t\to+\infty}P(t)=\frac{20000}{20}=1000.

Passo 3

Para a assíntota horizontal à esquerda, calculamos
\lim_{t\to-\infty}P(t) =\lim_{t\to-\infty}\frac{20000}{20+40e^{-0,2t}}.
Aqui e^{-0,2t}=e^{0,2|t|}\to+\infty quando t\to-\infty, então o denominador cresce sem limite e
\lim_{t\to-\infty}P(t)=0.

Passo 4

As assíntotas horizontais são, portanto, as retas
y=1000 \quad\text{e}\quad y=0.

Passo 5

A interpretação de y=1000 como assíntota à direita é que, após um período muito longo ( t\to+\infty), a população da cidade se estabiliza em torno de 1000 indivíduos.

Resposta

As assíntotas horizontais são y=1000 e y=0.
A assíntota y=1000 indica que, conforme t\to+\infty, a população tende a se aproximar de 1000.

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