1. Ecólogos estudando uma determinada região determinaram que o tamanho de uma determinada planta, B(x), é função do nível de precipitação x, dado por
B(x)=\frac{40 x}{\sqrt{1+x^{2}}}+20
(a) Calcular B^{\prime}(x).
(b) Calcular \lim _{x \rightarrow \infty} B^{\prime}(x). Interpretar este resultado.
(a) B^{\prime}(x)=\frac{40 \sqrt{1+x^{2}}-40 x^{2}\left(1+x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}}{1+x^{2}}=\frac{40}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
(b) \lim _{x \rightarrow \infty} B^{\prime}(x)=0

Passo 1

O enunciado dá a função da altura da planta em função da precipitação:
B(x)=\frac{40\,x}{\sqrt{1+x^{2}}}+20
e pede:
(a) a derivada B'(x);
(b) o limite \lim_{x\to\infty}B'(x).
Para isso vamos usar regra do produto, regra da cadeia e propriedades de limites.

Passo 2

Observe que
\frac{40\,x}{\sqrt{1+x^{2}}}=40\,x\,(1+x^{2})^{-\tfrac12}.
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}[40\,x]=40, \qquad \frac{d}{dx}\bigl((1+x^{2})^{-\tfrac12}\bigr) =-\tfrac12(1+x^{2})^{-\tfrac32}\cdot2x =-x\,(1+x^{2})^{-\tfrac32}.
Logo,
\frac{d}{dx}\bigl(40\,x\,(1+x^{2})^{-\tfrac12}\bigr) =40\,(1+x^{2})^{-\tfrac12} +40\,x\bigl(-x\,(1+x^{2})^{-\tfrac32}\bigr).

Passo 3

Somando termos e lembrando que a derivada de 20 é zero, temos
B'(x) =40\,(1+x^{2})^{-\tfrac12}-40\,x^{2}\,(1+x^{2})^{-\tfrac32} =40\,(1+x^{2})^{-\tfrac32}\bigl[(1+x^{2})-x^{2}\bigr] =\frac{40}{(1+x^{2})^{3/2}}.

Passo 4

Para o limite em x\to\infty,
\lim_{x\to\infty}B'(x) =\lim_{x\to\infty}\frac{40}{(1+x^{2})^{3/2}} =0.
Interpretando, isso significa que ao aumentar muito a precipitação, o ganho adicional na altura da planta por unidade de chuva fica cada vez menor (efeito de retorno decrescente).

Resposta

(a) B'(x)=\displaystyle\frac{40}{(1+x^{2})^{3/2}}.
(b) \lim_{x\to\infty}B'(x)=0.

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