Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo:
marca A B C A e B B e C C e A \mathrm{A}, \mathrm{B} e C nenhuma
número de consumidores 109 203 162 25 41 28 5 11
Pede-se:
(a) número de pessoas consultadas

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado pede e quais dados temos (peguei estes números da tabela do enunciado).
O enunciado pede:
  • (a) o número de pessoas consultadas.
Os dados fornecidos na tabela (peguei da tabela) são os seguintes:
  • número de consumidores da marca A: |A| = 109;
  • número de consumidores da marca B: |B| = 203;
  • número de consumidores da marca C: |C| = 162;
  • número de consumidores das marcas A e B (interseção A∩B): |A\cap B| = 25;
  • número de consumidores das marcas B e C (interseção B∩C): |B\cap C| = 41;
  • número de consumidores das marcas C e A (interseção C∩A): |C\cap A| = 28;
  • número de consumidores das três marcas A, B e C: |A\cap B\cap C| = 5;
  • número de pessoas que não consomem nenhuma das três: \text{nenhuma} = 11.

Passo 2

Explicando a ideia necessária (sem pular etapas): por que não basta somar |A|+|B|+|C|?
Se eu somar |A|+|B|+|C| estou contando duas vezes as pessoas que aparecem em interseções (por exemplo, alguém que usa A e B aparece em |A| e em |B|). Para corrigir isso, usamos o princípio da inclusão-exclusão. Vou dar primeiro o caso com duas categorias para fixar a intuição.
Caso com duas categorias: para dois conjuntos A e B,
|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|.
Explicação: soma os de A e B, mas subtrai quem foi contado duas vezes (a interseção).

Passo 3

Agora a fórmula para três conjuntos (essa é a ferramenta que resolve o problema). Para três conjuntos A,B,C vale:
|A\cup B\cup C| = |A| + |B| + |C| - |A\cap B| - |B\cap C| - |C\cap A| + |A\cap B\cap C|.
Explicando cada termo:
  • |A| + |B| + |C|: soma simples de cada grupo (conta interseções várias vezes).
  • Subtrai-se |A\cap B|,|B\cap C|,|C\cap A| porque cada interseção foi contada duas vezes na soma inicial.
  • Mas ao subtrair as três interseções, quem pertence às três ( |A\cap B\cap C|) foi subtraído três vezes depois de ter sido somado três vezes, então precisa ser somado de volta uma vez (por isso o último termo positivo).

Passo 4

Aplicando a fórmula usando os números que peguei da tabela.
Calcule primeiro a soma dos individuais:
|A| + |B| + |C| = 109 + 203 + 162.
Faço a conta passo a passo:
109 + 203 = 312,
312 + 162 = 474.
Some as interseções pares (também peguei da tabela):
|A\cap B| + |B\cap C| + |C\cap A| = 25 + 41 + 28 = 94.
O termo da interseção tripla (pego da tabela) é
|A\cap B\cap C| = 5.
Agora aplico a fórmula:
|A\cup B\cup C| = 474 - 94 + 5.
Calculo:
474 - 94 = 380,
380 + 5 = 385.
Portanto, o número de pessoas que consomem pelo menos uma das três marcas (ou seja, pertencem à união A\cup B\cup C) é |A\cup B\cup C| = 385.

Passo 5

Finalmente, o total de pessoas consultadas é a soma de quem consome pelo menos uma marca mais quem não consome nenhuma. Usei o número “nenhuma” que peguei da tabela:
\text{total} = |A\cup B\cup C| + \text{nenhuma} = 385 + 11.
Faço a soma:
385 + 11 = 396.

Passo 6

Resumo rápido do procedimento para a prova (dica amiga e prática): quando tiver várias categorias com interseções, use sempre o princípio da inclusão-exclusão; primeiro some os individuais, subtraia as interseções pares, some a interseção tripla, e no final some quem respondeu “nenhuma” se essa categoria existir. Evita erro clássico de contagem dupla. Força aí — você conseguiu chegar ao número final com contas fáceis de fazer à mão!

Resposta

396

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