Uma população consome três marcas de sabão em pó:
e
. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo:
marca
A
B
C
A e B
B e C
C e A
e C
nenhuma
número de consumidores
109
203
162
25
41
28
5
11
Pede-se:
(a) número de pessoas consultadas
| marca | A | B | C | A e B | B e C | C e A |
|
nenhuma |
| número de consumidores | 109 | 203 | 162 | 25 | 41 | 28 | 5 | 11 |
(a) número de pessoas consultadas
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o enunciado pede e quais dados temos (peguei estes números da tabela do enunciado).
O enunciado pede:
- (a) o número de pessoas consultadas.
Os dados fornecidos na tabela (peguei da tabela) são os seguintes:
- número de consumidores da marca A:
; - número de consumidores da marca B:
; - número de consumidores da marca C:
; - número de consumidores das marcas A e B (interseção A∩B):
; - número de consumidores das marcas B e C (interseção B∩C):
; - número de consumidores das marcas C e A (interseção C∩A):
; - número de consumidores das três marcas A, B e C:
; - número de pessoas que não consomem nenhuma das três:
.
Passo 2
Explicando a ideia necessária (sem pular etapas): por que não basta somar
?
Se eu somar
estou contando duas vezes as pessoas que aparecem em interseções (por exemplo, alguém que usa A e B aparece em
e em
). Para corrigir isso, usamos o princípio da inclusão-exclusão. Vou dar primeiro o caso com duas categorias para fixar a intuição.
Caso com duas categorias: para dois conjuntos
e
,
Explicação: soma os de
e
, mas subtrai quem foi contado duas vezes (a interseção).
Passo 3
Agora a fórmula para três conjuntos (essa é a ferramenta que resolve o problema). Para três conjuntos
vale:
Explicando cada termo:
-
: soma simples de cada grupo (conta interseções várias vezes). - Subtrai-se
porque cada interseção foi contada duas vezes na soma inicial. - Mas ao subtrair as três interseções, quem pertence às três (
) foi subtraído três vezes depois de ter sido somado três vezes, então precisa ser somado de volta uma vez (por isso o último termo positivo).
Passo 4
Aplicando a fórmula usando os números que peguei da tabela.
Calcule primeiro a soma dos individuais:
Faço a conta passo a passo:
Some as interseções pares (também peguei da tabela):
O termo da interseção tripla (pego da tabela) é
Agora aplico a fórmula:
Calculo:
Portanto, o número de pessoas que consomem pelo menos uma das três marcas (ou seja, pertencem à união
) é
.
Passo 5
Finalmente, o total de pessoas consultadas é a soma de quem consome pelo menos uma marca mais quem não consome nenhuma. Usei o número “nenhuma” que peguei da tabela:
Faço a soma:
Passo 6
Resumo rápido do procedimento para a prova (dica amiga e prática): quando tiver várias categorias com interseções, use sempre o princípio da inclusão-exclusão; primeiro some os individuais, subtraia as interseções pares, some a interseção tripla, e no final some quem respondeu “nenhuma” se essa categoria existir. Evita erro clássico de contagem dupla. Força aí — você conseguiu chegar ao número final com contas fáceis de fazer à mão!
Resposta
396