Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo:
marca A B C A e B B e C C e A \mathrm{A}, \mathrm{B} e C nenhuma
número de consumidores 109 203 162 25 41 28 5 11
Pede-se:
(c) número de pessoas que não consomem as marcas A ou C

Passo 1

O enunciado (peguei os dados da tabela fornecida) dá os seguintes números:
  • número de consumidores de A: 109
  • número de consumidores de B: 203
  • número de consumidores de C: 162
  • número de consumidores de A e B: 25
  • número de consumidores de B e C: 41
  • número de consumidores de C e A: 28
  • número de consumidores de A, B e C simultaneamente: 5
  • número de pessoas que não consomem nenhuma das marcas: 11
A pergunta (c) pede: número de pessoas que não consomem as marcas A ou C. Note: interpretar "não consomem as marcas A ou C" como pessoas que não consomem nem A nem C (podem consumir B ou nenhuma).

Passo 2

Vamos usar a ideia de complemento e a fórmula de união de conjuntos. Definindo n(X) como número de elementos do conjunto X:
  • O conjunto de pessoas que consomem pelo menos uma das marcas é A\cup B\cup C e seu tamanho é dado pela fórmula de inclusão-exclusão:
n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n\text{(C)}-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n(A\cap B\cap C).
  • O total da população N é o número que consome pelo menos uma marca mais os que não consomem nenhuma:
N=n(A\cup B\cup C)+\text{(nenhuma)}.
  • O número que não consome A nem C é o complemento de A\cup C, ou seja:
\text{queremos }N - n(A\cup C),
onde
n(A\cup C)=n(A)+n\text{(C)}-n(A\cap C).

Passo 3

Calcular n(A\cup B\cup C) aplicando a fórmula e substituindo os números da tabela:
n(A\cup B\cup C)=109+203+162-25-41-28+5.
Vamos somar passo a passo:
109+203=312,
312+162=474,
25+41+28=94,
474-94=380,
380+5=385.
Logo n(A\cup B\cup C)=385.

Passo 4

Calcular o total da população N somando os que consomem pelo menos uma marca com os que não consomem nenhuma (peguei 11 da tabela):
N=385+11=396.

Passo 5

Calcular n(A\cup C) usando os valores da tabela:
n(A\cup C)=n(A)+n\text{(C)}-n(A\cap C)=109+162-28.
Fazendo as contas:
109+162=271,
271-28=243.
Portanto n(A\cup C)=243.

Passo 6

O número de pessoas que não consomem nem A nem C é o complemento de A\cup C:
\text{não consomem \(A\) nem \(C\)}=N - n(A\cup C)=396-243.ã
Fazendo a subtração:
396-243=153.

Passo 7

Verificação alternativa (para conferir): quem não consome A nem C são exatamente as pessoas que consomem apenas B mais as que não consomem nenhuma. O número que consome apenas B é
\text{apenas }B = n(B)-n(A\cap B)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)=203-25-41+5=142.
Somando com os que não consomem nenhuma ( 11):
142+11=153,
que confirma o resultado anterior.

Resposta

153

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