Uma população, que conta atualmente com 4000 espécimes, está decaindo exponencialmente. Sabe-se que, decorrido 1 ano, a população cai para 3620 espécimes.
Obtenha a equação da curva dessa população.

Passo 1

O que o enunciado dá:
  • População inicial (no tempo t=0) é \;4000 espécimes.
  • Depois de 1 ano ( t=1) a população passa a \;3620 espécimes.
O que o enunciado pede:
  • Obter a equação da curva que descreve a população em função do tempo t (anos).

Passo 2

Escolhemos um modelo exponencial para descrever decaimento, cuja forma geral é:
P(t)=P_{0}e^{r t}

Explicando cada símbolo:
  • P(t) = população no tempo t (em espécimes);
  • P_{0} = população inicial (no tempo t=0);
  • r = taxa de crescimento contínua por unidade de tempo (aqui, por ano). Se a população decai, r<0.

    Esse modelo significa que a variação proporcional da população por unidade de tempo é constante — por isso usamos exponencial.

Passo 3

Usamos a condição inicial para fixar P_{0}. Como a população atual (em t=0) é \;4000, temos:
P_{0}=4000,

logo a fórmula fica
P(t)=4000\,e^{r t}.

Passo 4

Usamos o dado de t=1: P(1)=3620. Substituindo em P(t):
3620=4000\,e^{r\cdot 1}.

Isolamos e^{r} dividindo por 4000:
e^{r}=\frac{3620}{4000}=0{,}905.

Passo 5

Para encontrar r aplicamos o logaritmo natural ( \ln) em ambos os lados:
r=\ln\!\left(\frac{3620}{4000}\right)=\ln(0{,}905).

Essa é a expressão exata para a taxa contínua r. Podemos também dar uma aproximação decimal:
r\approx \ln(0{,}905)\approx -0{,}1000\\ \text{(por ano)}.

Passo 6

Substituímos r na equação P(t)=4000\,e^{r t}. Uma forma conveniente e equivalente é escrever usando a base 0{,}905:
P(t)=4000\left(0{,}905\right)^{t},

pois e^{r t}=e^{\ln(0{,}905)\,t}=(e^{\ln(0{,}905)})^{t}=0{,}905^{t}.

Passo 7

Interpretações rápidas (úteis na prova):
  • A cada ano a população é multiplicada por 0{,}905, ou seja, diminui aproximadamente 9{,}5\% por ano em termos discreto anual.
  • A taxa contínua r é aproximadamente -0{,}1000 (ou -10{,}0\% ao ano, em taxa contínua). Essas duas formas são equivalentes para modelagem, mas têm interpretações ligeiramente diferentes (discreta vs. contínua).

Resposta

P(t)=4000\left(0{,}905\right)^{t}

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