Uma população, que conta atualmente com 4000 espécimes, está decaindo exponencialmente. Sabe-se que, decorrido 1 ano, a população cai para 3620 espécimes.
Obtenha a equação da curva dessa população.
Obtenha a equação da curva dessa população.
Passo 1
O que o enunciado dá:
- População inicial (no tempo
) é espécimes. - Depois de
ano ( ) a população passa a espécimes.
O que o enunciado pede:
- Obter a equação da curva que descreve a população em função do tempo
(anos).
Passo 2
Escolhemos um modelo exponencial para descrever decaimento, cuja forma geral é:
Explicando cada símbolo:
-
= população no tempo (em espécimes); -
= população inicial (no tempo ); -
= taxa de crescimento contínua por unidade de tempo (aqui, por ano). Se a população decai, .
Esse modelo significa que a variação proporcional da população por unidade de tempo é constante — por isso usamos exponencial.
Passo 3
Usamos a condição inicial para fixar
. Como a população atual (em
) é
, temos:
logo a fórmula fica
Passo 4
Usamos o dado de
:
. Substituindo em
:
Isolamos
Passo 5
Para encontrar
aplicamos o logaritmo natural (
) em ambos os lados:
Essa é a expressão exata para a taxa contínua
Passo 6
Substituímos
na equação
. Uma forma conveniente e equivalente é escrever usando a base
:
pois
Passo 7
Interpretações rápidas (úteis na prova):
- A cada ano a população é multiplicada por
, ou seja, diminui aproximadamente por ano em termos discreto anual. - A taxa contínua
é aproximadamente (ou ao ano, em taxa contínua). Essas duas formas são equivalentes para modelagem, mas têm interpretações ligeiramente diferentes (discreta vs. contínua).