Uma população cresce de acordo com a equação logística dada, onde t é medido em semanas.
\left\{\begin{array}{l} \frac{d P}{d t}=0,04 P\left(1-\frac{P}{1200}\right) \\\ P(0)=60 \end{array}\right.
(a) Qual é a capacidade de suporte? Qual é o valor de k ?
(b) Escreva a solução dessa equação.
(c) Qual é a população depois de 10 semanas?

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial logística com condição inicial e pede três coisas. Dados e perguntas (peguei tudo do enunciado):
  • Equação: \dfrac{dP}{dt}=0,04\,P\!\left(1-\dfrac{P}{1200}\right).
  • Condição inicial: P(0)=60.
    O que é pedido:
    (a) Qual é a capacidade de suporte? Qual é o valor de k?
    (b) Escrever a solução P(t) da equação.
    (c) Calcular a população depois de 10 semanas, isto é P(10).

Passo 2

Identificar a forma padrão e interpretar os parâmetros:
  • A forma padrão da equação logística é \dfrac{dP}{dt}=k\,P\!\left(1-\dfrac{P}{M}\right), onde:
    • M é a capacidade de suporte (o valor limite quando t\to\infty);
    • k é a taxa intrínseca de crescimento (unidade por tempo).
  • Comparando com a equação dada, vê-se diretamente que:
    • M=1200 (capacidade de suporte);
    • k=0,04 (por semana).
      Isto responde a (a).

Passo 3

Preparar a solução: separação de variáveis e manipulação algébrica.
  • Escrever 1-\dfrac{P}{1200}=\dfrac{1200-P}{1200}. Assim
\frac{dP}{dt}=0,04\,P\cdot\frac{1200-P}{1200}.
  • Passar termos em P para o lado esquerdo e t para o direito:
\frac{dP}{P(1200-P)} = \frac{0,04}{1200}\,dt.
  • Para integrar a esquerda, é conveniente separar em frações parciais. Note que
\frac{1}{P(1200-P)}=\frac{1}{1200}\left(\frac{1}{P}+\frac{1}{1200-P}\right).
(Verificação rápida: multiplicando ambos os lados por 1200P(1200-P) obtém-se 1200=(1200-P)+P, que é verdade.)
  • Assim a integral à esquerda fica simples.

Passo 4

Integrar e obter a forma geral da solução.
  • Integrando ambos os lados:
\int \frac{dP}{P(1200-P)} = \int \frac{0,04}{1200}\,dt.
  • Usando a decomposição:
\int \frac{1}{1200}\left(\frac{1}{P}+\frac{1}{1200-P}\right)dP = \frac{0,04}{1200}\int dt.
  • Multiplicando ambos os lados por 1200 para simplificar:
\int\left(\frac{1}{P}+\frac{1}{1200-P}\right)dP = 0,04\int dt.
  • Calcule as integrais:
    • \displaystyle \int\frac{1}{P}dP=\ln|P|.
    • \displaystyle \int\frac{1}{1200-P}dP=-\ln|1200-P|.
  • Portanto
\ln|P|-\ln|1200-P| = 0,04t + C,
ou seja
\ln\!\left(\frac{P}{1200-P}\right)=0,04t+C.
  • Exponenciando,
\frac{P}{1200-P}=C_1 e^{0,04t},
onde C_1=e^{C} é constante positiva (porque P está entre 0 e 1200 para a solução física).

Passo 5

Isolar P(t) e aplicar a condição inicial.
  • Resolver para P:
P = 1200\cdot\frac{C_1 e^{0,04t}}{1+C_1 e^{0,04t}}.
  • Alternativamente, escrevendo com exponencial negativo:
P(t)=\frac{1200}{1+A e^{-0,04t}},
onde A=\dfrac{1}{C_1}.
  • Usar P(0)=60 para encontrar A (ou C_1). Pela forma \dfrac{P}{1200-P}=C_1 e^{0,04t}, em t=0:
\frac{60}{1200-60}=C_1 \Rightarrow \frac{60}{1140}=\frac{1}{19}=C_1.
Logo C_1=\dfrac{1}{19} e A=19.
  • Assim a solução explícita, resposta para (b), fica:
P(t)=\frac{1200}{1+19\,e^{-0,04t}}.
(Equivalente: P(t)=\dfrac{1200\,e^{0,04t}}{19+e^{0,04t}}.)

Passo 6

Calcular P(10) (resposta para (c)).
  • Substituir t=10 na expressão:
P(10)=\frac{1200}{1+19\,e^{-0,04\cdot 10}}=\frac{1200}{1+19\,e^{-0,4}}.
  • Aproximação numérica: e^{-0,4}\approx 0,670320046.
  • Então 19\,e^{-0,4}\approx 19\cdot 0,670320046\approx 12,7360809.
  • Denominador 1+19e^{-0,4}\approx 13,7360809.
  • Portanto
P(10)\approx \frac{1200}{13,7360809}\approx 87,4.
(Arredondando, P(10)\approx 87 indivíduos, se quiser inteiro.)

Resposta

(a) Capacidade de suporte: \;1200.\quad k=0,04 (por semana).
(b) \displaystyle P(t)=\frac{1200}{1+19\,e^{-0,04t}}.
(c) \displaystyle P(10)\approx 87{,}4.

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