Uma população cresce de acordo com a equação logística dada, onde t é medido em semanas.
(a) Qual é a capacidade de suporte? Qual é o valor de k ?
(b) Escreva a solução dessa equação.
(c) Qual é a população depois de 10 semanas?
(b) Escreva a solução dessa equação.
(c) Qual é a população depois de 10 semanas?
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial logística com condição inicial e pede três coisas. Dados e perguntas (peguei tudo do enunciado):
- Equação:
. - Condição inicial:
.
O que é pedido:
(a) Qual é a capacidade de suporte? Qual é o valor de?
(b) Escrever a soluçãoda equação.
(c) Calcular a população depois desemanas, isto é .
Passo 2
Identificar a forma padrão e interpretar os parâmetros:
- A forma padrão da equação logística é
, onde: -
é a capacidade de suporte (o valor limite quando ); -
é a taxa intrínseca de crescimento (unidade por tempo).
-
- Comparando com a equação dada, vê-se diretamente que:
-
(capacidade de suporte); -
(por semana).
Isto responde a (a).
-
Passo 3
Preparar a solução: separação de variáveis e manipulação algébrica.
- Escrever
. Assim
- Passar termos em
para o lado esquerdo e para o direito:
- Para integrar a esquerda, é conveniente separar em frações parciais. Note que
(Verificação rápida: multiplicando ambos os lados por
obtém-se
, que é verdade.)
- Assim a integral à esquerda fica simples.
Passo 4
Integrar e obter a forma geral da solução.
- Integrando ambos os lados:
- Usando a decomposição:
- Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
- Calcule as integrais:
-
. -
.
-
- Portanto
ou seja
- Exponenciando,
onde
é constante positiva (porque
está entre
e
para a solução física).
Passo 5
Isolar
e aplicar a condição inicial.
- Resolver para
:
- Alternativamente, escrevendo com exponencial negativo:
onde
.
- Usar
para encontrar (ou ). Pela forma , em :
Logo
e
.
- Assim a solução explícita, resposta para (b), fica:
(Equivalente:
.)
Passo 6
Calcular
(resposta para (c)).
- Substituir
na expressão:
- Aproximação numérica:
. - Então
. - Denominador
. - Portanto
(Arredondando,
indivíduos, se quiser inteiro.)
Resposta
(a) Capacidade de suporte:
.\quad
(por semana).
(b) .
(c) .
(b)
(c)