Desintegração radioativa - a experiência mostra que a velocidade de decomposição de uma determinada substância radioativa é em cada instante proporcional à massa existente nesse instante. Chama-se meia-vida ao tempo necessário para a massa se reduzir a 50 \%. Deduza a massa em função do tempo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
Informação: a velocidade de decomposição da substância, em cada instante, é proporcional à massa existente nesse instante.
Informação: meia-vida é o tempo necessário para a massa se reduzir a 50\% da massa inicial.
Pergunta: deduzir a expressão da massa em função do tempo, m(t), usando os dados acima.
Variáveis relevantes que vamos usar (a gente já define para não se perder):
m(t) = massa da substância no instante t.
m_0 = massa inicial, isto é m(0).
T_{1/2} = meia-vida (tempo para a massa cair para m_0/2).
\lambda = constante de decaimento (número positivo que mede a rapidez da decomposição), que aparece na proporcionalidade.
Passo 2
Traduzindo a frase “velocidade de decomposição é proporcional à massa” para uma equação: a velocidade é a derivada \dfrac{dm}{dt}. Proporcionalidade significa que existe uma constante \lambda tal que
\frac{dm}{dt} = -\lambda\, m(t).
Explicação didática e por que o sinal negativo: a massa diminui com o tempo, então a taxa \dfrac{dm}{dt} é negativa; escrevemos o sinal negativo explicitamente e tomamos \lambda>0. A constante \lambda tem unidades de “por tempo” (por exemplo, \text{dias}^{-1} ou \text{s}^{-1}) e indica quão rápido acontece o decaimento.
Passo 3
Resolver a equação diferencial por separação de variáveis (método simples e direto que dá uma exponencial).
Começamos por colocar todos os termos com m de um lado e todos os termos com t do outro:
\frac{1}{m}\,dm = -\lambda\, dt.
Agora integramos os dois lados. Integração indefinida:
\int \frac{1}{m}\,dm = \int -\lambda\, dt.
As integrais são simples: \int \dfrac{1}{m}\,dm = \ln|m| e \int -\lambda\,dt = -\lambda t + C, onde C é uma constante de integração. Portanto
\ln|m| = -\lambda t + C.
Exponenciando ambos os lados (e lembrando que m>0, então dá para tirar o valor absoluto):
m(t) = e^{C} \, e^{-\lambda t}.
Chamamos e^{C} de m_0, porque avaliando em t=0 obtemos m(0)=m_0. Assim a solução geral com constante inicial é
m(t) = m_0\, e^{-\lambda t}.
Explicação prática: isso é uma lei exponencial de decaimento — a cada instante a massa diminui em proporção à massa que resta.
Passo 4
Agora relacionamos a constante \lambda com a meia-vida T_{1/2}. Pela definição de meia-vida:
m(T_{1/2}) = \frac{m_0}{2}.
Usando a fórmula m(t)=m_0 e^{-\lambda t}, substituímos t=T_{1/2}:
Uma forma equivalente, que às vezes é mais intuitiva, usa base 2:
m(t) = m_0 \, 2^{-t/T_{1/2}}.
Explicação de equivalência: e^{-(\ln 2)(t/T_{1/2})} = (e^{\ln 2})^{-t/T_{1/2}} = 2^{-t/T_{1/2}}. Essa forma mostra claramente que a cada intervalo de tempo igual a T_{1/2} a massa é dividida por 2.
Exemplo numérico rápido (para fixar): se m_0=100 e T_{1/2}=5 dias, então em t=10 dias