Um sólido é aquecido a uma temperatura de 100^{\circ} \mathrm{C}. Em seguida é imerso num líquido à temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C}. Ao fim de 3 minutos a temperatura do sólido é de 70^{\circ} \mathrm{C}. Qual o instante em que a temperatura é de 35^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura inicial do sólido no instante de imersão: \,T(0)=100^\circ\mathrm{C}\,.
    • Temperatura do líquido (ambiente térmico): \,T_{\text{amb}}=30^\circ\mathrm{C}\,.
    • Após 3 minutos a temperatura do sólido é \,T(3)=70^\circ\mathrm{C}\,.
  • Pergunta:
    • Em que instante t (em minutos a partir da imersão) a temperatura do sólido será \,35^\circ\mathrm{C}\,?

Passo 2

Explicação da lei que vamos usar (Lei do Resfriamento de Newton) e solução geral.
  • A Lei de Newton diz que a taxa de variação da temperatura de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a do meio. Matematicamente:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t)-T_{\text{amb}}\bigr),
onde:
  • \,T(t)\, é a temperatura do sólido no instante t,
  • \,T_{\text{amb}}\, é a temperatura do meio (constante),
  • \,k>0\, é a constante de proporcionalidade (taxa de resfriamento).
  • Vamos resolver essa equação diferencial simples por separação de variáveis. Reescrevendo:
\frac{dT}{T-T_{\text{amb}}} = -k\,dt.
Integrando dos instantes 0 a t e das temperaturas T(0) a T(t):
\int_{T(0)}^{T(t)}\frac{dT}{T-T_{\text{amb}}} = -k\int_{0}^{t} dt.
A integral do lado esquerdo dá um logaritmo natural, então obtemos a solução:
\ln\!\bigl|T(t)-T_{\text{amb}}\bigr| - \ln\!\bigl|T(0)-T_{\text{amb}}\bigr| = -k t.
Isolando T(t) resulta a forma usual:
T(t)=T_{\text{amb}}+\bigl(T(0)-T_{\text{amb}}\bigr)e^{-k t}.
Aqui cada termo significa:
  • \,T_{\text{amb}}\, é o limite que T(t) tende quando t\to\infty,
  • \,T(0)-T_{\text{amb}}\, é a diferença inicial que decai exponencialmente com taxa k.

Passo 3

Determinar a constante k usando o dado T(3)=70^\circ\mathrm{C}.
  • Substituindo os valores na fórmula:
70 = 30 + (100-30)e^{-k\cdot 3}.
  • Simplificando:
70 = 30 + 70 e^{-3k}\quad\Rightarrow\quad 40 = 70 e^{-3k}.
  • Assim:
e^{-3k}=\frac{40}{70}=\frac{4}{7}.
  • Tomando ln em ambos os lados:
-3k = \ln\!\left(\frac{4}{7}\right)\quad\Rightarrow\quad k = -\frac{1}{3}\ln\!\left(\frac{4}{7}\right)=\frac{1}{3}\ln\!\left(\frac{7}{4}\right).
  • Cálculo aproximado (para usar depois):
k \approx \frac{1}{3}\cdot 0{,}5596157879\approx 0{,}1865385960\\ \text{min}^{-1}.

Passo 4

Determinar o instante t tal que T(t)=35^\circ\mathrm{C}.
  • Usando a expressão geral:
35 = 30 + 70 e^{-k t}.
  • Isolando o expoente:
5 = 70 e^{-k t}\quad\Rightarrow\quad e^{-k t}=\frac{5}{70}=\frac{1}{14}.
  • Tomando ln:
-k t = \ln\!\left(\frac{1}{14}\right) = -\ln(14)\quad\Rightarrow\quad t=\frac{\ln(14)}{k}.
  • Substituindo k=\dfrac{1}{3}\ln\!\left(\dfrac{7}{4}\right):
t = \frac{\ln(14)}{\tfrac{1}{3}\ln\!\left(\dfrac{7}{4}\right)} = 3\cdot\frac{\ln(14)}{\ln\!\left(\dfrac{7}{4}\right)}.
  • Cálculo numérico:
    • \ln(14)\approx 2{,}639057330,
    • \ln\!\left(\dfrac{7}{4}\right)\approx 0{,}5596157879.
t \approx 3\cdot\frac{2{,}639057330}{0{,}5596157879}\approx 14{,}15\\ \text{min}.

Passo 5

Interpretação e comentário final (curto e encorajador).
  • O instante encontrado é contado a partir do momento da imersão do sólido no líquido. Portanto, cerca de \,14{,}15 minutos após a imersão a temperatura do sólido será \,35^\circ\mathrm{C}.
  • Dica prática para a prova: sempre escreva a fórmula T(t)=T_{\text{amb}}+(T_0-T_{\text{amb}})e^{-kt}, use um ponto conhecido para achar k, e depois substitua para o tempo desejado — é um procedimento direto.

Resposta

t\approx 14{,}15\\ \text{min}

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