A população (em milhares) de uma colônia de bactérias 
  minutos após a introdução de uma toxina é dada pela função
 
Mostre que esta função é contínua e explique por que a população deve ser 10.000 em algum instante 
  com 
 .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que representa a população de uma colônia de bactérias em milhares, dependendo do tempo 
  em minutos após a introdução de uma toxina. A função é definida por partes:
Precisamos mostrar que essa função é contínua e, além disso, demonstrar por que a população deve chegar a 10 (ou seja, 10.000 bactérias) em algum instante 
  entre 1 e 7 minutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função 
  é contínua. Uma função por partes é contínua se for contínua em cada intervalo e se os valores das partes se conectarem sem saltos no ponto onde as funções mudam de definição. No nosso caso, a mudança ocorre em 
 .
Passo 3
Vamos calcular os limites da função quando 
  se aproxima de 5 por ambos os lados.
Para 
  se aproximando de 5 pela esquerda (
 ):
Para 
  se aproximando de 5 pela direita (
 ):
Além disso, o valor da função em 
  é:
Passo 4
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e também iguais ao valor da função em 
 , a função 
  é contínua nesse ponto. Já que a função é contínua em todos os intervalos (polinômios são contínuos) e no ponto de conexão, concluímos que 
  é contínua para todo 
  no seu domínio.
Passo 5
Agora, vamos mostrar que a população alcança 10.000 bactérias, ou seja, 
 , em algum instante 
  entre 1 e 7 minutos. Para isso, usamos o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função é contínua em um intervalo e tem valores 
  e 
  tais que 
  está entre 
  e 
 , então existe pelo menos um 
  em 
  tal que 
 .
Passo 6
Primeiro, vamos calcular 
  em 
  e 
 .
Para 
  (que está no intervalo 
 ):
Para 
  (que está no intervalo 
 ):
Passo 7
Observamos que 
  e 
 . Queremos que 
 . Como 10 está entre 8 e 16, e a função é contínua no intervalo [1,7], pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um 
  em (1,7) tal que 
 .
Resposta
A função 
  é contínua em todo o seu domínio e, pelo Teorema do Valor Intermediário, a população alcança 10.000 bactérias em algum instante 
  entre 1 e 7 minutos.