Em uma população de tamanho S, a taxa de variação do número N de pessoas que ouviram um boato é proporcional ao número de pessoas que ainda não ouviram. Modele esta situação com uma equação diferencial.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma população fixa de tamanho S e uma função N(t) que representa o número de pessoas que já ouviram o boato no instante t. A informação principal é que a taxa de crescimento de quem ouviu, isto é \frac{dN}{dt}, é proporcional ao número de pessoas que ainda não ouviram, que é S - N(t). Vamos usar esse princípio de proporcionalidade para montar a equação diferencial.

Passo 2

Pelo enunciado, existe uma constante de proporcionalidade k>0 tal que
\frac{dN}{dt} = k\bigl(\text{número que ainda não ouviram}\bigr)úã
Como o total é S e N(t) já ouviram, o número que não ouviram é S - N(t). Logo
\frac{dN}{dt} = k\,\bigl(S - N(t)\bigr).

Resposta

\frac{dN}{dt} = k\,(S - N).

Exercícios relacionados