Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
x d y-y d x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de variáveis separáveis
x\,dy - y\,dx = 0
O conteúdo aqui é reconhecer uma equação de primeira ordem separável e usar a técnica de separar as variáveis seguido de integração.

Passo 2

Escrevemos a equação em forma de derivada \tfrac{dy}{dx}. Dividindo ambos os lados por dx e por x (supondo x\neq0), temos
x\,\frac{dy}{dx} - y = 0
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\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}.

Passo 3

Agora separamos variáveis, colocando todos os y de um lado e todos os x do outro:
\frac{1}{y}\,dy = \frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

Integramos os dois lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{1}{x}\,dx
o que dá
\ln\lvert y\rvert = \ln\lvert x\rvert + C,
em que C é constante de integração.

Passo 5

Exponenciando ambos os lados, obtemos
\lvert y\rvert = e^C\,\lvert x\rvert.
Definindo K=e^C (que pode ser positivo ou negativo), a solução geral é
y = K\,x.

Resposta

A solução geral da equação é
y = C\,x,
em que C é constante arbitrária.

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