A porcentagem de um aditivo na gasolina foi medida seis vezes com os seguintes resultados: 0,13 ; 0,
e
. Determine os intervalos de confiança de
e de
para a porcentagem do aditivo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
- As seis medições da porcentagem do aditivo (peguei os números do enunciado) são:
- O tamanho da amostra é
. - O que o enunciado pede: encontrar os intervalos de confiança para a média verdadeira da porcentagem do aditivo com níveis de confiança de
e .
Passo 2
Breve explicação do método que vamos usar (sem pular etapas):
- Como a amostra é pequena (
) e não conhecemos o desvio-padrão da população, o intervalo de confiança para a média amostral usa a distribuição de Student. - A fórmula do intervalo de confiança para a média quando
é desconhecido é
onde:
-
é a média amostral; -
é o desvio-padrão amostral (estimador de ); -
é o tamanho da amostra; -
é o número de graus de liberdade; -
é o quantil da distribuição com graus de liberdade tal que a área de cauda superior é ; para nível de confiança . - Em palavras: calcula-se a média e o desvio-padrão da amostra, divide-se o desvio-padrão pela raiz de
para obter o erro padrão, multiplica-se esse erro padrão pelo valor crítico apropriado e soma/subtrai da média para obter os limites.
Passo 3
Calcular a média amostral
passo a passo.
- Primeiro somar as observações:
- A média é
Vou arredondar para quatro casas decimais quando conveniente:
Passo 4
Calcular o desvio-padrão amostral
mostrando as contas.
- Calcular as diferenças
e seus quadrados (mostrando com aproximação de 7 casas quando precisar): -
, . -
, . -
, . -
, . -
, . -
, .
-
- Somando esses quadrados:
- A variância amostral (com divisor
) é
- O desvio-padrão amostral é
Passo 5
Calcular o erro padrão da média (
).
- A fórmula é
- Substituindo os valores:
Passo 6
Escolher os valores críticos
.
- Temos
graus de liberdade. - Para nível de confiança
temos e . O valor crítico é
- Para nível de confiança
temos e . O valor crítico é
(esses valores vêm da tabela da distribuição
de Student para
.)
Passo 7
Calcular as margens de erro e os intervalos.
- Margem de erro para
:
Então o intervalo de confiança de
é
ou seja
- Margem de erro para
:
Então o intervalo de confiança de
é
ou seja