A porcentagem de um aditivo na gasolina foi medida seis vezes com os seguintes resultados: 0,13 ; 0, 12 ; 0,16 ; 0,17 ; 0,20 e 0,11 \%. Determine os intervalos de confiança de 90 \% e de 99 \% para a porcentagem do aditivo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • As seis medições da porcentagem do aditivo (peguei os números do enunciado) são:
    \,0{,}13\%\,,\;0{,}12\%\,,\;0{,}16\%\,,\;0{,}17\%\,,\;0{,}20\%\,,\;0{,}11\%.
  • O tamanho da amostra é \,n=6.
  • O que o enunciado pede: encontrar os intervalos de confiança para a média verdadeira da porcentagem do aditivo com níveis de confiança de \,90\% e \,99\%.

Passo 2

Breve explicação do método que vamos usar (sem pular etapas):
  • Como a amostra é pequena ( n=6) e não conhecemos o desvio-padrão da população, o intervalo de confiança para a média amostral usa a distribuição t de Student.
  • A fórmula do intervalo de confiança para a média quando \sigma é desconhecido é
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\nu}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral;
  • s é o desvio-padrão amostral (estimador de \sigma);
  • n é o tamanho da amostra;
  • \nu=n-1 é o número de graus de liberdade;
  • t_{\alpha/2,\nu} é o quantil da distribuição t com \nu graus de liberdade tal que a área de cauda superior é \alpha/2; para nível de confiança 100(1-\alpha)\%.
  • Em palavras: calcula-se a média e o desvio-padrão da amostra, divide-se o desvio-padrão pela raiz de n para obter o erro padrão, multiplica-se esse erro padrão pelo valor crítico t apropriado e soma/subtrai da média para obter os limites.

Passo 3

Calcular a média amostral \bar{x} passo a passo.
  • Primeiro somar as observações:
\sum_{i=1}^{6} x_i = 0{,}13+0{,}12+0{,}16+0{,}17+0{,}20+0{,}11 = 0{,}89.
  • A média é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i=\frac{0{,}89}{6}=0{,}148333\ldots
Vou arredondar para quatro casas decimais quando conveniente:
\bar{x}\approx 0{,}1483\\ \%.

Passo 4

Calcular o desvio-padrão amostral s mostrando as contas.
  • Calcular as diferenças x_i-\bar{x} e seus quadrados (mostrando com aproximação de 7 casas quando precisar):
    • 0{,}13-\bar{x}= -0{,}018333\ldots, (0{,}13-\bar{x})^2\approx 0{,}000336111.
    • 0{,}12-\bar{x}= -0{,}028333\ldots, (0{,}12-\bar{x})^2\approx 0{,}000802778.
    • 0{,}16-\bar{x}= 0{,}011666\ldots, (0{,}16-\bar{x})^2\approx 0{,}000136111.
    • 0{,}17-\bar{x}= 0{,}021666\ldots, (0{,}17-\bar{x})^2\approx 0{,}000469444.
    • 0{,}20-\bar{x}= 0{,}051666\ldots, (0{,}20-\bar{x})^2\approx 0{,}002669444.
    • 0{,}11-\bar{x}= -0{,}038333\ldots, (0{,}11-\bar{x})^2\approx 0{,}001469444.
  • Somando esses quadrados:
\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})^2 \approx 0{,}000336111+0{,}000802778+0{,}000136111+0{,}000469444+0{,}002669444+0{,}001469444 \approx 0{,}005883333.
  • A variância amostral (com divisor n-1) é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\frac{0{,}005883333}{5}=0{,}0011766666\ldots
  • O desvio-padrão amostral é
s=\sqrt{s^2}\approx\sqrt{0{,}0011766667}\approx 0{,}03432\\ \%.

Passo 5

Calcular o erro padrão da média ( \mathrm{SE}).
  • A fórmula é
\mathrm{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}.
  • Substituindo os valores:
\mathrm{SE}\approx\frac{0{,}03432}{\sqrt{6}}\approx\frac{0{,}03432}{2{,}44949}\approx0{,}01401\\ \%.

Passo 6

Escolher os valores críticos t_{\alpha/2,\nu}.
  • Temos \nu=n-1=5 graus de liberdade.
  • Para nível de confiança 90\% temos \alpha=0{,}10 e \alpha/2=0{,}05. O valor crítico é
t_{0{,}05,5}\approx 2{,}015.
  • Para nível de confiança 99\% temos \alpha=0{,}01 e \alpha/2=0{,}005. O valor crítico é
t_{0{,}005,5}\approx 4{,}032.
(esses valores vêm da tabela da distribuição t de Student para \nu=5.)

Passo 7

Calcular as margens de erro e os intervalos.
  • Margem de erro para 90\%:
\mathrm{ME}_{90}=t_{0{,}05,5}\cdot\mathrm{SE}\approx 2{,}015\cdot0{,}01401\approx0{,}02823\\ \%.
Então o intervalo de confiança de 90\% é
\bar{x}\pm\mathrm{ME}_{90}\approx 0{,}14833\pm0{,}02823,
ou seja
\text{IC}_{90\%}\approx(0{,}12010\%,\;0{,}17656\%).
  • Margem de erro para 99\%:
\mathrm{ME}_{99}=t_{0{,}005,5}\cdot\mathrm{SE}\approx 4{,}032\cdot0{,}01401\approx0{,}05650\\ \%.
Então o intervalo de confiança de 99\% é
\bar{x}\pm\mathrm{ME}_{99}\approx 0{,}14833\pm0{,}05650,
ou seja
\text{IC}_{99\%}\approx(0{,}09183\%,\;0{,}20483\%).

Resposta

\text{IC}_{90\%}\approx(0{,}1201\%,\;0{,}1766\%)
\text{IC}_{99\%}\approx(0{,}0918\%,\;0{,}2048\%)

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