Um estagiário de um laboratório médico será considerado apto a trabalhar sozinho quando seus resultados concordarem com os de um analista experiente, com um nível de confiança de 95%. Os resultados para uma análise de nitrogênio na ureia do sangue são mostrados a seguir.
Estagiário:
\bar{x}=14,5_{7} \mathrm{mg} / \mathrm{dL}
\mathrm{s}=0,5 \mathrm{mg} / \mathrm{dL}
n=6 amostras
Técnico experiente:
\bar{x}=13,9_{5} \mathrm{mg} / \mathrm{dL}
s=0,42 \mathrm{mg} / \mathrm{dL}
n=5 amostras
a) O que significa a abreviatura dL?
b) O estagiário está apto para trabalhar sozinho?

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas:
(a) O que significa a abreviatura dL?
(b) O estagiário está apto para trabalhar sozinho (ou seja, os resultados do estagiário concordam com os do técnico experiente) ao nível de confiança de 95\%?
Dados fornecidos (pego do enunciado):
  • Estagiário: \bar{x}_1=14{,}57\\ \mathrm{mg/dL}, s_1=0{,}5\\ \mathrm{mg/dL}, n_1=6.
  • Técnico experiente: \bar{x}_2=13{,}95\\ \mathrm{mg/dL}, s_2=0{,}42\\ \mathrm{mg/dL}, n_2=5.
(Observação: adotei as médias como \bar{x}_1=14{,}57 e \bar{x}_2=13{,}95 conforme os números apresentados no enunciado.)

Passo 2

Decisão do método e formulação do teste — explicação didática e sem pular etapas.
Queremos verificar se as médias verdadeiras das duas populações são iguais. Isso é um teste de hipótese para duas amostras independentes, com tamanhos pequenos e variâncias desconhecidas. O método mais seguro nesses casos é o teste de Student para duas médias usando a versão de Welch (que não assume variâncias iguais). Vou descrever as hipóteses e a estatística:
  • Hipóteses (teste bilateral, porque queremos concordância ou não):
\begin{aligned} H_0 &: \mu_1=\mu_2 \\\ H_a &: \mu_1\neq\mu_2 \end{aligned}
onde \mu_1 é a média verdadeira do estagiário e \mu_2 é a média do técnico experiente.
  • Estatística de teste (teste de Welch):
t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^{2}}{n_1}+\dfrac{s_2^{2}}{n_2}}}
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x}_1,\bar{x}_2 são as médias amostrais (estagiário e técnico).
  • s_1^{2},s_2^{2} são as variâncias amostrais (quadrado do desvio padrão).
  • n_1,n_2 são os tamanhos das amostras.
    A raiz no denominador é o erro padrão da diferença entre as médias.
  • Os graus de liberdade aproximados (para a distribuição t) na versão de Welch são dados por:
\nu \approx \frac{\left(\dfrac{s_1^{2}}{n_1}+\dfrac{s_2^{2}}{n_2}\right)^{2}}{\dfrac{(s_1^{2}/n_1)^{2}}{n_1-1}+\dfrac{(s_2^{2}/n_2)^{2}}{n_2-1}}
Isso corrige os graus de liberdade quando as variâncias amostrais não são exatamente iguais.
Regra de decisão (nível de significância \alpha=0{,}05, teste bilateral):
  • Rejeitar H_0 se |t| for maior que o valor crítico t_{1-\alpha/2,\nu} ou se o p-valor for <\alpha.
  • Caso contrário, não rejeitar H_0.

Passo 3

Cálculo da estatística passo a passo (calcule tudo sem pular contas).
Primeiro as quantidades úteis:
\begin{aligned} \bar{x}_1-\bar{x}_2 &= 14{,}57-13{,}95=0{,}62,\\[4pt] s_1^{2} &= (0{,}5)^{2}=0{,}25,\\[4pt] s_2^{2} &= (0{,}42)^{2}=0{,}1764. \end{aligned}
Agora o denominador (erro padrão da diferença):
\begin{aligned} \frac{s_1^{2}}{n_1} &= \frac{0{,}25}{6}=0{,}041666\ldots\approx0{,}04167,\\[4pt] \frac{s_2^{2}}{n_2} &= \frac{0{,}1764}{5}=0{,}03528,\\[4pt] \frac{s_1^{2}}{n_1}+\frac{s_2^{2}}{n_2} &= 0{,}04167+0{,}03528=0{,}07695\\ (\text{aprox.}). \end{aligned}
A raiz:
\sqrt{0{,}07695}\approx0{,}2774.
A estatística t:
t=\frac{0{,}62}{0{,}2774}\approx2{,}234.]

Passo 4

Cálculo aproximado dos graus de liberdade \nu pela fórmula de Welch (mostrando as contas).
Calcular o numerador:
\left(\frac{s_1^{2}}{n_1}+\frac{s_2^{2}}{n_2}\right)^{2}=(0{,}07695)^{2}\approx0{,}005922.
Calcular os termos do denominador:
\begin{aligned} \frac{(s_1^{2}/n_1)^{2}}{n_1-1} &= \frac{(0{,}041666\ldots)^{2}}{6-1}=\frac{0{,}001736}{5}\approx0{,}0003472,\\[4pt] \frac{(s_2^{2}/n_2)^{2}}{n_2-1} &= \frac{(0{,}03528)^{2}}{5-1}=\frac{0{,}001245}{4}\approx0{,}0003113. \end{aligned}
Somando:
0{,}0003472+0{,}0003113=0{,}0006585\\ (\text{aprox.}).
Portanto
\nu\approx\frac{0{,}005922}{0{,}0006585}\approx8{,}99\approx9\\ \text{(graus de liberdade aproximados)}.]

Passo 5

Decisão do teste usando o valor crítico e interpretação do p-valor.
Para \alpha=0{,}05 e \nu\approx9, o valor crítico bilateral é
t_{1-\alpha/2,\nu}=t_{0{,}975,9}\approx2{,}262.
Comparando: |t|=2{,}234 que é ligeiramente menor que 2{,}262. Logo |t|<t_{\mathrm{crit}}, não rejeitamos H_0 ao nível de 5\%.
Estimativa do p-valor (do teste bilateral) com t\approx2{,}234 e \nu\approx9 dá aproximadamente p\approx0{,}05\!-\!0{,}06 (mais precisamente p\approx0{,}052). Como p>0{,}05, novamente não rejeitamos H_0.
Interpretação prática (linguagem simples): não há evidência estatística suficiente, ao nível de confiança de 95\%, de que a média do estagiário seja diferente da média do técnico experiente. Ou seja, os resultados concordam dentro da margem estatística pedida.

Passo 6

Comentário final e incentivo (curto e amigável).
O resultado é bem próximo do limite: o teste ficou marginal (t muito perto do crítico). Isso significa que os resultados parecem concordar, mas a diferença observada não é bem grande o suficiente, com esses tamanhos de amostra pequenos, para declarar divergência com 95\% de confiança. Se quiserem ter mais certeza na prova ou no trabalho, aumentar n ajudaria a reduzir a incerteza.

Resposta

(a) dL significa decilitro; 1\\ \mathrm{dL}=0{,}1\\ \mathrm{L}.
(b) Sim. Não há evidência estatística a 5\% de significância para rejeitar a igualdade das médias (teste de Welch: t\approx2{,}234, \nu\approx9, p\approx0{,}052>0{,}05), portanto os resultados concordam ao nível de confiança de 95\% e o estagiário é considerado apto.

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