A razão entre o número de átomos dos isótopos
em oito amostras de fontes diferentes foi medida no sentido de se entenderem as diferenças nos valores determinados da massa atômica do gálio:
Amostra
Amostra
1
1,526 60
5
1,528 94
2
1,52974
6
1,528 04
3
1,525 92
7
1,52685
4
1,527 31
8
1,527 93
Determine: (a) a média, (b) o desvio-padrão, (c) a variância e (d) o desvio-padrão da média. (e) Escreva a média aritmética e o desvio- padrão com um número apropriado de algarismos significativos.
| Amostra |
|
Amostra |
|
| 1 | 1,526 60 | 5 | 1,528 94 |
| 2 | 1,52974 | 6 | 1,528 04 |
| 3 | 1,525 92 | 7 | 1,52685 |
| 4 | 1,527 31 | 8 | 1,527 93 |
Passo 1
O enunciado pede que, a partir das oito medições da razão
, se calcule:
(a) a média aritmética; (b) o desvio-padrão; (c) a variância; (d) o desvio-padrão da média; (e) escrever a média e o desvio-padrão com um número adequado de algarismos significativos.
(a) a média aritmética; (b) o desvio-padrão; (c) a variância; (d) o desvio-padrão da média; (e) escrever a média e o desvio-padrão com um número adequado de algarismos significativos.
Listei as oito medições (peguei os valores na tabela do enunciado):
Número de medidas:
.
Passo 2
Cálculo da média aritmética (fórmula e interpretação).
A média aritmética é definida por
A média aritmética é definida por
onde
é a média,
é o número de observações e
são as observações individuais.
Calculei a soma e a média:
Interpretação rápida:
é o valor central (a média) das oito medições.
Passo 3
Definição e escolha do desvio-padrão (explicação didática).
Há duas fórmulas possíveis: desvio-padrão populacional (dividindo por ) e desvio-padrão amostral (dividindo por
). Quando as medidas são amostras independentes de uma população e queremos estimar a variabilidade verdadeira, usa-se o desvio-padrão amostral:
Há duas fórmulas possíveis: desvio-padrão populacional (dividindo por
onde
é a variância amostral e
o desvio-padrão amostral. Aqui usarei essa definição (divisor
) porque são medições amostrais de uma propriedade física.
Agora calculei as diferenças
e seus quadrados (mostro cada termo para ficar claro):
Soma dos quadrados das discrepâncias:
Agora a variância amostral:
E o desvio-padrão amostral:
Passo 4
Desvio-padrão da média (erro padrão) — definição e cálculo.
O desvio-padrão da média (também chamado erro-padrão) indica a incerteza da média calculada a partir de medições independentes; é dado por
O desvio-padrão da média (também chamado erro-padrão) indica a incerteza da média calculada a partir de
onde
é o desvio-padrão amostral calculado no passo anterior.
Cálculo:
Passo 5
Resumo numérico com as quantidades pedidas (valores com precisão completa calculada):
(a) média aritmética:
(a) média aritmética:
(b) desvio-padrão (amostral):
(c) variância (amostral):
(d) desvio-padrão da média:
Passo 6
Como apresentar a média e o desvio-padrão com algarismos significativos adequados (regra prática e decisão).
Regra prática usual em relatórios: arredonda-se o desvio-padrão para uma ou duas cifras significativas e escreve-se a média com o mesmo número de casas decimais (mesma ordem de grandeza). Aqui ; arredondando
para duas cifras significativas obtém-se
. Então a média deve ser arredondada na mesma casa decimal (casa do milésimo), isto é
.
Regra prática usual em relatórios: arredonda-se o desvio-padrão para uma ou duas cifras significativas e escreve-se a média com o mesmo número de casas decimais (mesma ordem de grandeza). Aqui
Outra forma de apresentar, útil quando se quer enfatizar a incerteza da média, é usar o desvio-padrão da média
e escrevê-la com duas cifras significativas
; então a média deve ser expressa na mesma casa decimal:
.
Vou fornecer as duas formas (a primeira pedida em (e) refere-se explicitamente à média e ao desvio-padrão):
- Apresentação média e desvio-padrão (arredondados segundo a regra):
, . - Apresentação média com erro da média (opcional e informativa):
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) média e desvio-padrão com algarismos apropriados:
(b)
(c)
(d)
(e) média e desvio-padrão com algarismos apropriados: