A razão entre o número de átomos dos isótopos { }^{69} \mathrm{Ga} \mathrm{e}{ }^{71} \mathrm{Ga} em oito amostras de fontes diferentes foi medida no sentido de se entenderem as diferenças nos valores determinados da massa atômica do gálio:
Amostra { }^{69} \mathrm{Ga} /{ }^{71} \mathrm{Ga} Amostra { }^{69} \mathrm{Ga} /^{71} \mathrm{Ga}
1 1,526 60 5 1,528 94
2 1,52974 6 1,528 04
3 1,525 92 7 1,52685
4 1,527 31 8 1,527 93
Determine: (a) a média, (b) o desvio-padrão, (c) a variância e (d) o desvio-padrão da média. (e) Escreva a média aritmética e o desvio- padrão com um número apropriado de algarismos significativos.

Passo 1

O enunciado pede que, a partir das oito medições da razão { }^{69}\mathrm{Ga}/{ }^{71}\mathrm{Ga}, se calcule:
(a) a média aritmética; (b) o desvio-padrão; (c) a variância; (d) o desvio-padrão da média; (e) escrever a média e o desvio-padrão com um número adequado de algarismos significativos.
Listei as oito medições (peguei os valores na tabela do enunciado):
\begin{aligned} x_1 &= 1,52660\\\ x_2 &= 1,52974\\\ x_3 &= 1,52592\\\ x_4 &= 1,52731\\\ x_5 &= 1,52894\\\ x_6 &= 1,52804\\\ x_7 &= 1,52685\\\ x_8 &= 1,52793 \end{aligned}
Número de medidas: N=8.

Passo 2

Cálculo da média aritmética (fórmula e interpretação).
A média aritmética é definida por
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i,
onde \bar{x} é a média, N é o número de observações e x_i são as observações individuais.
Calculei a soma e a média:
\sum_{i=1}^8 x_i = 12,22133
\bar{x}=\frac{12,22133}{8}=1,52766625.
Interpretação rápida: \bar{x} é o valor central (a média) das oito medições.

Passo 3

Definição e escolha do desvio-padrão (explicação didática).
Há duas fórmulas possíveis: desvio-padrão populacional (dividindo por N) e desvio-padrão amostral (dividindo por N-1). Quando as medidas são amostras independentes de uma população e queremos estimar a variabilidade verdadeira, usa-se o desvio-padrão amostral:
s=\sqrt{s^2},\qquad s^2=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N (x_i-\bar{x})^2,
onde s^2 é a variância amostral e s o desvio-padrão amostral. Aqui usarei essa definição (divisor N-1) porque são medições amostrais de uma propriedade física.
Agora calculei as diferenças x_i-\bar{x} e seus quadrados (mostro cada termo para ficar claro):
\begin{aligned} x_1-\bar{x} &= 1,52660-1,52766625=-0,00106625,&(x_1-\bar{x})^2&=1,1368890625\times10^{-6},\\\ x_2-\bar{x} &= 0,00207375,&(x_2-\bar{x})^2&=4,3004390625\times10^{-6},\\\ x_3-\bar{x} &=-0,00174625,&(x_3-\bar{x})^2&=3,0493890625\times10^{-6},\\\ x_4-\bar{x} &=-0,00035625,&(x_4-\bar{x})^2&=1,269140625\times10^{-7},\\\ x_5-\bar{x} &=0,00127375,&(x_5-\bar{x})^2&=1,6224390625\times10^{-6},\\\ x_6-\bar{x} &=0,00037375,&(x_6-\bar{x})^2&=1,396890625\times10^{-7},\\\ x_7-\bar{x} &=-0,00081625,&(x_7-\bar{x})^2&=6,662640625\times10^{-7},\\\ x_8-\bar{x} &=0,00026375,&(x_8-\bar{x})^2&=6,95640625\times10^{-8}. \end{aligned}
Soma dos quadrados das discrepâncias:
\sum_{i=1}^8 (x_i-\bar{x})^2 = 1,11115875\times10^{-5}.
Agora a variância amostral:
s^2=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N (x_i-\bar{x})^2 =\frac{1,11115875\times10^{-5}}{7}=1,587369642857143\times10^{-6}.
E o desvio-padrão amostral:
s=\sqrt{s^2}=\sqrt{1,587369642857143\times10^{-6}}=0,001259918\\ (\text{aprox.}).

Passo 4

Desvio-padrão da média (erro padrão) — definição e cálculo.
O desvio-padrão da média (também chamado erro-padrão) indica a incerteza da média calculada a partir de N medições independentes; é dado por
s_{\bar{x}}=\frac{s}{\sqrt{N}},
onde s é o desvio-padrão amostral calculado no passo anterior.
Cálculo:
s_{\bar{x}}=\frac{0,001259918}{\sqrt{8}}=\frac{0,001259918}{2,828427}=0,00044546\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Resumo numérico com as quantidades pedidas (valores com precisão completa calculada):
(a) média aritmética:
\bar{x}=1,52766625.
(b) desvio-padrão (amostral):
s=0,001259918\\ (\text{aprox.}).
(c) variância (amostral):
s^2=1,587369642857143\times10^{-6}.
(d) desvio-padrão da média:
s_{\bar{x}}=0,00044546\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Como apresentar a média e o desvio-padrão com algarismos significativos adequados (regra prática e decisão).
Regra prática usual em relatórios: arredonda-se o desvio-padrão para uma ou duas cifras significativas e escreve-se a média com o mesmo número de casas decimais (mesma ordem de grandeza). Aqui s=0,001259918; arredondando s para duas cifras significativas obtém-se s\approx0,0013. Então a média deve ser arredondada na mesma casa decimal (casa do milésimo), isto é \bar{x}\approx1,528.
Outra forma de apresentar, útil quando se quer enfatizar a incerteza da média, é usar o desvio-padrão da média s_{\bar{x}}=0,00044546 e escrevê-la com duas cifras significativas s_{\bar{x}}\approx0,00045; então a média deve ser expressa na mesma casa decimal: \bar{x}=1,52767\pm0,00045.
Vou fornecer as duas formas (a primeira pedida em (e) refere-se explicitamente à média e ao desvio-padrão):
  • Apresentação média e desvio-padrão (arredondados segundo a regra): \bar{x}=1,528, s=0,0013.
  • Apresentação média com erro da média (opcional e informativa): \bar{x}=1,52767\pm0,00045.

Resposta

(a) \bar{x}=1,52766625
(b) s=0,001259918
(c) s^2=1,587369642857143\times10^{-6}
(d) s_{\bar{x}}=0,00044546
(e) média e desvio-padrão com algarismos apropriados: \bar{x}=1,528,\\ s=0,0013

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