A porosidade de uma areia é 37 \% e o peso específico dos grãos sólidos é 26,60 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}.
Determine:
a) Índice de vazios;
b) Peso específico aparente seco;
c) Peso específico quando o Grau de Saturação é de 30 \%;
d) Peso específico saturado.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Porosidade: \,n=37\% = 0,37.
  • Peso específico dos grãos sólidos: \,\gamma_s = 26,60\\ \mathrm{kN/m^3}.
O que é pedido:
(a) o índice de vazios (e);
(b) o peso específico aparente seco (\gamma_d);
(c) o peso específico quando o grau de saturação \,S_r=30\% (ou seja \,S_r=0,30);
(d) o peso específico saturado (\gamma_{sat}).

Passo 2

Entender a relação entre porosidade e índice de vazios e aplicar para achar e.
Definições e derivação (devagar e claro):
  • Porosidade n é a fração do volume total ocupada por vazios: \,n=\dfrac{V_v}{V}.
  • Índice de vazios e é a razão entre volume de vazios e volume de sólidos: \,e=\dfrac{V_v}{V_s}.
    Como V = V_s + V_v, podemos escrever
n=\frac{V_v}{V_s+V_v}=\frac{eV_s}{V_s+eV_s}=\frac{e}{1+e}.
Isolando e obtemos a fórmula usada com frequência:
e=\frac{n}{1-n}.
Agora calculamos numericamente:
e=\frac{0,37}{1-0,37}=\frac{0,37}{0,63}=0,587301587\ldots
Arredondando razoavelmente:
e \approx 0,587.

Passo 3

Calcular o peso específico aparente seco \gamma_d.
Primeiro, entender o que é \gamma_d:
  • O peso dos sólidos por volume total é W_s/V.
  • O peso dos sólidos por volume de sólidos é \gamma_s, logo W_s=\gamma_s V_s.
  • Como V_s=V(1-n), temos
\gamma_d=\frac{W_s}{V}=\gamma_s\frac{V_s}{V}=\gamma_s(1-n).
Aplicando os números:
\gamma_d = 26,60\cdot(1-0,37)=26,60\cdot0,63=16,758\\ \mathrm{kN/m^3}.
Arredondando:
\gamma_d \approx 16,76\\ \mathrm{kN/m^3}.

Passo 4

Calcular o peso específico para um grau de saturação S_r qualquer (e depois com S_r=0,30).
Raciocínio e fórmula:
  • O volume de água é V_w = S_r V_v = S_r n V.
  • Peso da água é W_w=\gamma_w V_w = \gamma_w S_r n V, onde \gamma_w é o peso específico da água. Usaremos \gamma_w = 9,81\\ \mathrm{kN/m^3}.
  • O peso total por unidade de volume é
\gamma=\frac{W_s+W_w}{V}=\gamma_d + \gamma_w S_r n.
Agora com S_r=0,30:
\gamma = 16,758 + 9,81\cdot0,30\cdot0,37.
Calculemos a contribuição da água:
9,81\cdot0,30\cdot0,37 = 9,81\cdot0,111 = 1,08891\\ \mathrm{kN/m^3}.
Somando:
\gamma = 16,758 + 1,08891 = 17,84691\\ \mathrm{kN/m^3}.
Arredondando:
\gamma \approx 17,85\\ \mathrm{kN/m^3}\quad(\text{para }S_r=30\%).

Passo 5

Calcular o peso específico saturado \gamma_{sat} (caso S_r=1).
Usando a fórmula do passo anterior com S_r=1:
\gamma_{sat}=\gamma_d + \gamma_w n.
Substituindo:
\gamma_{sat}=16,758 + 9,81\cdot0,37 = 16,758 + 3,6297 = 20,3877\\ \mathrm{kN/m^3}.
Arredondando:
\gamma_{sat} \approx 20,39\\ \mathrm{kN/m^3}.

Passo 6

Cheque rápido de consistência (sanity check):
  • Espera-se \gamma_d < \gamma para S_r=0,30 < 1 e \gamma_{sat} o maior. Aqui: 16,76 < 17,85 < 20,39 — faz sentido.
  • Unidades estão consistentes ( \mathrm{kN/m^3}).

Resposta

(a) e \approx 0,587
(b) \gamma_d \approx 16,76\\ \mathrm{kN/m^3}
(c) \gamma_{S_r=30\%} \approx 17,85\\ \mathrm{kN/m^3}
(d) \gamma_{sat} \approx 20,39\\ \mathrm{kN/m^3}

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