De um corte serão removidos 180.000 \mathrm{~m}^{3} de solo com índice de vazios 1,22 . Quantos \mathrm{m}^{3} de aterro com índice de vazios de 0,76 poderão ser construídos?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (sem resolver ainda):
  • Volume de solo removido do corte: V_{\text{corte}} = 180000\\ \mathrm{m}^3.
  • Índice de vazios do solo no corte: e_1 = 1,22.
  • Índice de vazios do solo no aterro (após compactação): e_2 = 0,76.
Pergunta: com o solo retirado do corte (volume e índices dados), quantos metros cúbicos de aterro com índice de vazios e_2=0,76 podem ser construídos, assumindo que a quantidade de sólidos do solo se conserva (não há perda de partículas sólidas nem ganho de massa)?

Passo 2

Conceito importante (explicado com calma): o índice de vazios e é a razão entre o volume de vazios V_v e o volume de sólidos V_s:
e=\frac{V_v}{V_s}.
O volume total do solo V é a soma dos sólidos e dos vazios:
V=V_s+V_v=V_s(1+e).
Aqui:
  • V é o volume total do solo (o que medimos em m³),
  • V_s é o volume ocupado pelas partículas sólidas (m³),
  • e é o índice de vazios (adimensional).

Passo 3

Princípio físico usado: ao remover solo do corte e trazê‑lo para fazer aterro, assume‑se que o volume de sólidos V_s se conserva (mesma quantidade de partículas sólidas). Assim podemos calcular V_s a partir do volume do corte e do seu índice e_1:
V_s=\frac{V_{\text{corte}}}{1+e_1}.

Passo 4

Calcular V_s com os números dados:
V_s=\frac{180000}{1+1,22}=\frac{180000}{2,22}.
Para ficar claro nas contas, multiplica‑se numerador e denominador por 100:
V_s=\frac{180000\cdot 100}{2{,}22\cdot 100}=\frac{18000000}{222}=\frac{3000000}{37}\approx 81081{,}081081\\ \mathrm{m}^3.
(essa é a quantidade de volume de sólidos presente no solo retirado).

Passo 5

Agora o volume total do aterro V_{\text{aterro}} usando o novo índice de vazios e_2 é
V_{\text{aterro}}=V_s(1+e_2).
Substituindo V_s calculado:
V_{\text{aterro}}=\frac{180000}{1+1{,}22}\cdot(1+0{,}76).

Passo 6

Podemos combinar num único passo (fórmula prática muito útil para prova):
V_{\text{aterro}}=V_{\text{corte}}\cdot\frac{1+e_2}{1+e_1}.
Substituindo valores:
V_{\text{aterro}}=180000\cdot\frac{1{,}76}{2{,}22}.
Para facilitar a aritmética transforme em frações inteiras:
\frac{1{,}76}{2{,}22}=\frac{176}{222}=\frac{88}{111}\approx0{,}79279279\ldots
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V_{\text{aterro}}=180000\cdot\frac{88}{111}=\frac{180000\cdot 88}{111}=\frac{15840000}{111}\approx142702{,}702703\\ \mathrm{m}^3.

Passo 7

Interpretação e arredondamento: como o aterro tem índice de vazios menor (solo mais compacto), o volume final do aterro é menor que o volume do corte — faz sentido físico. Arredondando para o metro cúbico mais próximo, obtém‑se 142703\\ \mathrm{m}^3.

Resposta

142703\\ \mathrm{m}^3

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