Num porta CDs, cabem 10 CDs colocados um sobre o outro, formando uma pilha vertical. Tenho 3 CDs de MPB, 5 de ROCK e 2 de MÚSICA CLÁSSICA (Assuma que os CDs, de cada tipo de música, são distintos)
De quantos modos posso escolher 4 CDs para levar em uma viagem, de modo que eu leve pelo menos um CD de cada tipo de música?
De quantos modos posso escolher 4 CDs para levar em uma viagem, de modo que eu leve pelo menos um CD de cada tipo de música?
Passo 1
Beleza, o problema é o seguinte: tenho 10 CDs distintos – 3 de MPB, 5 de Rock e 2 de Música Clássica – e quero escolher 4 deles de forma que tenha pelo menos um CD de cada estilo.
Isso é um exercício de contagem em combinatória, mais especificamente combinação simples e distribuição de elementos em categorias. Vamos usar binômios (coeficientes de combinação), onde
Isso é um exercício de contagem em combinatória, mais especificamente combinação simples e distribuição de elementos em categorias. Vamos usar binômios (coeficientes de combinação), onde
é o número de jeitos de escolher
itens distintos de um conjunto de
sem ordem.
Passo 2
Primeiro, definimos quantos CDs de cada tipo vamos levar. Seja
= número de CDs de MPB,
= número de CDs de Rock,
= número de CDs de Clássica.
Queremos e cada
(pois precisamos de pelo menos um de cada). Resolver essa equação em inteiros positivos é equivalente a achar composições de 4 em 3 partes, o que dá exatamente 3 possibilidades:
(1) ,
(2) ,
(3) .
Queremos
(1)
(2)
(3)
Passo 3
Agora, para cada caso, contamos quantas escolhas há usando combinações em cada categoria:
-
Caso
:
jeitos de escolher 1 CD de MPB,
jeitos de escolher 1 CD de Rock,
jeitos de escolher 2 CDs de Clássica.
Total =. -
Caso
:
. -
Caso
:
.
Passo 4
Basta somar todos os jeitos de cada caso:
Resposta
O número de modos de escolher 4 CDs levando pelo menos um de cada gênero é 105.