Num porta CDs, cabem 10 CDs colocados um sobre o outro, formando uma pilha vertical. Tenho 3 CDs de MPB, 5 de ROCK e 2 de MÚSICA CLÁSSICA (Assuma que os CDs, de cada tipo de música, são distintos)
De quantos modos posso escolher 4 CDs para levar em uma viagem, de modo que eu leve pelo menos um CD de cada tipo de música?

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: tenho 10 CDs distintos – 3 de MPB, 5 de Rock e 2 de Música Clássica – e quero escolher 4 deles de forma que tenha pelo menos um CD de cada estilo.
Isso é um exercício de contagem em combinatória, mais especificamente combinação simples e distribuição de elementos em categorias. Vamos usar binômios (coeficientes de combinação), onde
binomnk = n!k!(n-k)!
é o número de jeitos de escolher itens distintos de um conjunto de sem ordem.

Passo 2

Primeiro, definimos quantos CDs de cada tipo vamos levar. Seja
= número de CDs de MPB,
= número de CDs de Rock,
= número de CDs de Clássica.
Queremos e cada (pois precisamos de pelo menos um de cada). Resolver essa equação em inteiros positivos é equivalente a achar composições de 4 em 3 partes, o que dá exatamente 3 possibilidades:
(1) ,
(2) ,
(3) .

Passo 3

Agora, para cada caso, contamos quantas escolhas há usando combinações em cada categoria:
  1. Caso :
    jeitos de escolher 1 CD de MPB,
    jeitos de escolher 1 CD de Rock,
    jeitos de escolher 2 CDs de Clássica.
    Total = .
  2. Caso :
    .
  3. Caso :
    .

Passo 4

Basta somar todos os jeitos de cada caso:
15 + 60 + 30 = 105

Resposta

O número de modos de escolher 4 CDs levando pelo menos um de cada gênero é 105.

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