Uma portadora \mathrm{c}_{0}(\mathrm{t})=100 \cos 2 \pi 10^{8} \mathrm{t} é modulada em FM por uma cossenoide de 1 KHz e 40 Vpp em um circuito de \mathrm{K}_{\mathrm{f}}=10 \pi. Determine:
(a) O índice de modulação.
(b) A expressão do sinal modulado.

Passo 1

O enunciado dá a portadora \displaystyle c_0(t)=100\cos\bigl(2\pi 10^8 t\bigr)
e a mensagem é uma cossenoide de 1 kHz e 40 Vpp, num modulador FM de constante \,K_f=10\pi (rad/ V\cdot s). Precisamos calcular o índice de modulação \beta e escrever o sinal FM resultante s(t).

Passo 2

A mensagem é \displaystyle m(t)=V_m\cos(\omega_m t)
com pico \displaystyle V_m=\tfrac{40}{2}=20 V
e \displaystyle \omega_m=2\pi\cdot10^3 rad/s.
Em FM a frequência angular instantânea é \displaystyle \omega_i(t)=\omega_c + K_f\,m(t),
logo a fase instantânea é
\varphi(t)=\int\omega_i(t)\,dt =\omega_c t+\frac{K_f\,V_m}{\omega_m}\,\sin(\omega_m t).
Define-se o índice de modulação como \displaystyle \beta=\frac{K_f\,V_m}{\omega_m}.

Passo 3

Substituindo \displaystyle K_f=10\pi, \displaystyle V_m=20 e \displaystyle \omega_m=2\pi\cdot10^3:
\beta=\frac{10\pi\cdot20}{2\pi\cdot10^3} =\frac{200\pi}{2000\pi} =0{,}1.

Passo 4

O sinal FM modulado fica
s(t) =100\cos\!\Bigl(2\pi\cdot10^8\,t +\beta\,\sin(2\pi\cdot10^3\,t)\Bigr) =100\cos\!\bigl(2\pi10^8 t+0{,}1\sin(2\pi10^3 t)\bigr).

Resposta

(a) \displaystyle \beta=0{,}1.
(b) \displaystyle s(t)=100\cos\bigl(2\pi10^8 t+0{,}1\sin(2\pi10^3 t)\bigr).

Exercícios relacionados