Um portão de garagem suspenso de 720 N é composto de um painel retangular uniforme
de 2.100 mm de comprimento suportado pelo cabo
preso ao ponto médio da borda superior do portão e por dois conjuntos de rolos sem atrito
e
. Cada conjunto é composto de dois rolos localizados um em cada lado do portão. Os rolos em
estão livres para mover na calha horizontal, enquanto os rolos em
são guiados pela calha vertical. Se o portão é mantido na posição tal que
, determine (a) a tração no cabo
e (b) a reação em cada um dos quatro rolos.
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede, e em seguida indicar por que não tenho condições de resolver sem interpretar melhor a figura.
O enunciado fornece (dados textuais):
- Peso do portão:
. - O painel retangular
tem comprimento . - O painel é suportado por um cabo
preso no ponto médio da borda superior do portão e por dois conjuntos de rolos e . Cada conjunto tem dois rolos (um de cada lado do portão). - Os rolos em
podem mover-se na calha horizontal (logo, cada rolo do conjunto fornece reação essencialmente vertical). - Os rolos em
são guiados pela calha vertical (logo, cada rolo do conjunto fornece reação essencialmente horizontal). - O enunciado pede:
(a) a tração no cabo;
(b) a reação em cada um dos quatro rolos (ou seja, reação por rolo eme reação por rolo em ).
Do enunciado/imagem há várias medidas indicadas na figura, mas a figura está pequena/ambígua e não permite saber de forma inequívoca as posições relativas dos pontos
nem qual é a orientação exata do cabo e os braços de momento a usar. Por exemplo:
- A figura mostra o valor
verticalmente (parece a altura do vão), e aparece também associado a (o enunciado cita explicitamente ), e há marcas e junto à extremidade direita do portão, mas não é possível, a partir da imagem pequena, determinar sem ambiguidade: - a posição exata do ponto
(centro de gravidade) ao longo de em relação a e a ; - a posição geométrica de
em relação a e à parede (o significado geométrico exato de não fica claro — é uma projeção horizontal, uma distância ao longo do portão, ou outra coisa?); - a direção exata do cabo
(na figura parece aproximadamente horizontal, mas o ângulo exato é necessário para decompor a tração em componentes e escrever as equações de equilíbrio); - quais distâncias ao longo de
correspondem a e (por exemplo: é – e – ? ou outra ordenação?).
- a posição exata do ponto
Essas incógnitas geométricas são essenciais porque a solução está baseada em equilíbrio de forças (vertical e horizontal) e equilíbrio de momentos (por exemplo, momento sobre
para eliminar as reações verticais em
e obter a reação horizontal total em
, ou momento sobre
para obter a tração, etc.). Sem um posicionamento inequívoco dos pontos e o ângulo do cabo não é possível construir as equações numéricas corretas.
Portanto, com a figura fornecida no estado atual (pequena e ambígua) não há como resolver o problema sem fazer hipóteses adicionais não fornecidas pelo enunciado. Não vou inventar hipóteses geométricas porque isso provavelmente vai levar a uma resposta incorreta para o enunciado tal como foi dado.
Passo 2
Explicação do que seria o método de resolução (o procedimento que se aplicaria assim que a geometria estivesse clara). Vou explicar passo a passo didático para que, assim que tiver as distâncias/ângulos corretos, você possa aplicar imediatamente na prova.
-
Escolher corpo livre do portão inteiro. As forças atuantes:
- Peso
aplicado no centro de gravidade . - Tração
no cabo aplicada no ponto de ancoragem do cabo (o enunciado diz que é no ponto médio da borda superior — isso indica a posição do ponto de aplicação do cabo). - Reações verticais nos dois rolos do conjunto
: chamar e . Pelo enunciado e simetria espera-se , então a reação total vertical em é . - Reações horizontais nos dois rolos do conjunto
: chamar e . Pela simetria espera-se , então a reação total horizontal em é .
- Peso
-
Equações de equilíbrio:
- Equilíbrio vertical:
, onde é a componente vertical da tração (positivo para cima). - Equilíbrio horizontal:
, onde é a componente horizontal da tração (direção depende da orientação do cabo). - Equilíbrio de momentos: escolher um ponto conveniente (por exemplo o ponto onde a tração e as reações verticais atuam) para eliminar incógnitas. Um ponto comum é tomar momentos em torno do ponto de aplicação das reações verticais em
(ou do ponto inteiro) porque as reações verticais passam por esse ponto, anulando-se no momento, e assim o momento fornece uma relação entre o momento causado por e o momento causado por (a reação horizontal em tem braço vertical em relação a ). Assim:
,
em queé o braço perpendicular da força em relação a (distância vertical entre linha de ação de e ), e é o braço perpendicular do peso em relação a (distância horizontal entre e linha que passa por na direção do peso). Os sinais dependem da orientação adotada. - Com essa equação obtém-se
. Depois usa-se equilíbrio horizontal para obter e equilíbrio vertical para obter . Finalmente, divide-se por para obter a reação por rolo em e por para a reação por rolo em .
- Equilíbrio vertical:
-
Componentes da tração:
- Se o ângulo do cabo com a horizontal for
, então e . - A equação horizontal dará
e a vertical fornecerá . (Signos e direção conforme sentido adotado).
- Se o ângulo do cabo com a horizontal for
-
Cálculo dos braços de momento:
- É crucial saber as distâncias perpendiculares (braços) de
e de ao ponto de momento escolhido. Essas distâncias vêm diretamente das coordenadas geométricas (posições de e orientação do portão).
- É crucial saber as distâncias perpendiculares (braços) de
Passo 3
Resumo prático do que falta na figura para aplicar o método acima sem ambiguidade (isto é o que preciso ver claramente na figura):
- A posição exata do ponto onde o cabo
se prende ao portão (ou confirmação de que é exatamente o ponto e as coordenadas desse ponto). - O ângulo do cabo
ou as coordenadas do ponto (para obter e decompor ). - A posição de
ao longo do portão (distância de até medida ao longo do portão ou as coordenadas cartesianas). - A posição do centro de gravidade
ao longo do portão (distância desde um ponto de referência claro, por ex. desde ou desde ). - A interpretação clara do que significa
(projeção horizontal, distância ao longo do portão, distância vertical?) e como isso se relaciona à posição de .
Passo 4
O que você pode fazer agora (passo a passo rápido para quando tiver a figura/valores corretos):
- Identifique e escreva as coordenadas de
, e (por exemplo, escolha como origem e determine as coordenadas de e ). - Determine o ângulo
do cabo com a horizontal (ou vertical) a partir das coordenadas de e . - Calcule os braços de momento
e em relação ao ponto escolhido (por ex. ). - Use
para achar . - Use
para achar (decomponha o vetor com ). - Use
para achar . - Finalmente, reações por rolo:
e .
Passo 5
Motivação e incentivo (sem pular etapas): sei que é frustrante quando a figura não está clara — mas com os passos acima você vai conseguir transformar qualquer desenho bem definido em equações e resolver rapidinho na prova. Se você me enviar a mesma figura numa resolução maior ou me confirmar explicitamente:
- qual é o ponto de aplicação exato do cabo (coordenadas ou ângulo),
- a posição de
ao longo de (por exemplo: distância de até ), - a posição de
ao longo de (por exemplo: distância de até ou de até ),
então eu faço a resolução numérica completa, passo a passo, até as respostas finais (com as reações por rolo e a tração).
Resposta
Não é possível obter unicamente a resposta numérica com segurança porque a figura fornecida está ambígua quanto às posições/ângulos necessários (detalhes especificados no Passo 3). Solicito a figura em maior resolução ou a confirmação explícita das distâncias/ângulos mencionados para concluir os cálculos.