Uma viga de madeira de 3 m pesando 540 N é suportada por um pino e suporte em
e pelo cabo
. Encontre a reação em
e a tração no cabo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: a reação no pino em
(ou seja, as componentes horizontais e verticais da reação e, se quiser, sua magnitude/direção) e a tração no cabo
.
Informações fornecidas (peguei esses números da imagem):
Informações fornecidas (peguei esses números da imagem):
- Comprimento total da viga
: . - Força peso concentrada vertical descendente:
, aplicada no meio da viga, a de . - A viga é apoiada por um pino em
(ou seja, reação com componentes e ) e por um cabo ligado em e preso em . - Distância vertical entre
e : (peguei da imagem). - Distância horizontal entre
e : (peguei da imagem).
O que vamos encontrar: a tração
no cabo e a reação no pino em
(componentes
,
, e opcionalmente magnitude e ângulo).
Passo 2
Estratégia e conceitos básicos (sem pular etapas):
- Para corpo em equilíbrio estático no plano, valem as três equações:
Aqui o pino em fornece duas componentes desconhecidas e . O cabo fornece uma força de tração cuja direção é a reta ; essa força tem componentes horizontais e verticais que dependem da geometria . - Primeiro é útil achar o comprimento do cabo
e os cossenos-seno de sua direção (para obter as componentes e ).
A partir das medidas que peguei na imagem, as componentes do vetor depara são: - deslocamento horizontal:
(o cabo vai para a esquerda do ponto ); - deslocamento vertical:
(o cabo sobe).
O comprimento do cabo é
Calculemos : - deslocamento horizontal:
- As componentes da tração
(tomando positivo como a magnitude da força no sentido de para ) são onde o sinal de é negativo porque o cabo puxa para a esquerda.
Passo 3
Equilíbrio de momentos para encontrar
(escolhemos o ponto
para eliminar as reações em
do momento):
- Posicionamento: o ponto
está a à direita de ; o peso atua a de . - Momento de uma força em 2D: para um ponto com vetor posição
e força , o momento em torno da origem é . Aqui a força de tração em tem , então apenas a componente vertical cria momento em torno de . - Escrevendo
(sinal: momento positivo quando tende a girar CCW): Substituindo : Simplificando (observe que há um fator que cancela): Assim Substituindo :
Passo 4
Encontrar as componentes da tração e então as reações em
:
- Componentes da tração (peguei
e as distâncias horizontais/verticais da imagem): Substituindo os números:
(Sinal de
negativo indica puxão para a esquerda;
positivo indica componente para cima.)
- Agora equilíbrio de forças:
Passo 5
Magnitude e direção da reação em
(opcional, mas útil para interpretar):
- Magnitude:
- Direção (ângulo
acima do eixo horizontal, medido a partir de ):
Pequeno comentário encorajador: a conta é basicamente decompor a tração segundo a geometria do cabo, usar equilíbrio de momentos para achar
(isso elimina as incógnitas do pino), e então equilibrar forças para achar as componentes em
. Se ficou confuso em algum passo me fala que eu explico com desenhos passo a passo — você consegue!
Resposta
Tração no cabo:
Reação em :
(para a direita)
Reação em :
(para cima)
Magnitude da reação em :
na direção
acima da horizontal
Reação em
Reação em
Magnitude da reação em