Uma viga de madeira de 3 m pesando 540 N é suportada por um pino e suporte em A e pelo cabo B C. Encontre a reação em A e a tração no cabo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a reação no pino em A (ou seja, as componentes horizontais e verticais da reação e, se quiser, sua magnitude/direção) e a tração no cabo BC.
Informações fornecidas (peguei esses números da imagem):
  • Comprimento total da viga A B: 3{,}0\\ \text{m}.
  • Força peso concentrada vertical descendente: 540\\ \text{N}, aplicada no meio da viga, a 1{,}5\\ \text{m} de A.
  • A viga é apoiada por um pino em A (ou seja, reação com componentes A_x e A_y) e por um cabo ligado em B e preso em C.
  • Distância vertical entre A e C: 1{,}5\\ \text{m} (peguei da imagem).
  • Distância horizontal entre C e B: 2{,}1\\ \text{m} (peguei da imagem).
O que vamos encontrar: a tração T no cabo e a reação no pino em A (componentes A_x, A_y, e opcionalmente magnitude e ângulo).

Passo 2

Estratégia e conceitos básicos (sem pular etapas):
  • Para corpo em equilíbrio estático no plano, valem as três equações: \sum F_x = 0,\qquad \sum F_y = 0,\qquad \sum M = 0.Aqui o pino em A fornece duas componentes desconhecidas A_x e A_y. O cabo fornece uma força de tração T cuja direção é a reta B\!-\!C; essa força tem componentes horizontais e verticais que dependem da geometria B\!C.
  • Primeiro é útil achar o comprimento do cabo B C e os cossenos-seno de sua direção (para obter as componentes T_x e T_y).
    A partir das medidas que peguei na imagem, as componentes do vetor de B para C são:
    • deslocamento horizontal: -2{,}1\\ \text{m} (o cabo vai para a esquerda do ponto B);
    • deslocamento vertical: +1{,}5\\ \text{m} (o cabo sobe).
      O comprimento do cabo é
    L = \sqrt{(2{,}1)^2+(1{,}5)^2} = \sqrt{4{,}41+2{,}25} = \sqrt{6{,}66}.Calculemos L: L \approx 2{,}5807\\ \text{m}.
  • As componentes da tração T (tomando T positivo como a magnitude da força no sentido de B para C) são T_x = -T\frac{2{,}1}{L},\qquad T_y = +T\frac{1{,}5}{L},onde o sinal de T_x é negativo porque o cabo puxa para a esquerda.

Passo 3

Equilíbrio de momentos para encontrar T (escolhemos o ponto A para eliminar as reações em A do momento):
  • Posicionamento: o ponto B está a 3{,}0\\ \text{m} à direita de A; o peso 540\\ \text{N} atua a 1{,}5\\ \text{m} de A.
  • Momento de uma força em 2D: para um ponto com vetor posição \mathbf{r}=(x,y) e força \mathbf{F}=(F_x,F_y), o momento em torno da origem é M = x F_y - y F_x. Aqui a força de tração em B tem y_B=0, então apenas a componente vertical T_y cria momento em torno de A.
  • Escrevendo \sum M_A = 0 (sinal: momento positivo quando tende a girar CCW): 3{,}0\cdot T_y - 1{,}5\cdot 540 = 0.Substituindo T_y = T\frac{1{,}5}{L}: 3{,}0\cdot T\frac{1{,}5}{L} - 1{,}5\cdot 540 = 0.Simplificando (observe que há um fator 1{,}5 que cancela): T\cdot\frac{3{,}0\cdot 1{,}5}{L} = 1{,}5\cdot 540 \quad\Rightarrow\quad T\cdot\frac{4{,}5}{L} = 810.Assim T = 810\cdot\frac{L}{4{,}5} = 180\cdot L.Substituindo L\approx 2{,}5807\\ \text{m}: T \approx 180\cdot 2{,}5807 \approx 464{,}5\\ \text{N}.

Passo 4

Encontrar as componentes da tração e então as reações em A:
  • Componentes da tração (peguei L e as distâncias horizontais/verticais da imagem): T_x = -T\frac{2{,}1}{L},\qquad T_y = T\frac{1{,}5}{L}.Substituindo os números: T_x \approx -464{,}5\cdot\frac{2{,}1}{2{,}5807}\approx -377{,}9\\ \text{N},
T_y \approx 464{,}5\cdot\frac{1{,}5}{2{,}5807}\approx 269{,}9\\ \text{N}.
(Sinal de T_x negativo indica puxão para a esquerda; T_y positivo indica componente para cima.)
  • Agora equilíbrio de forças: \sum F_x = 0:\qquad A_x + T_x = 0 \quad\Rightarrow\quad A_x = -T_x \approx 377{,}9\\ \text{N}\\ \text{(direita)}.
\sum F_y = 0:\qquad A_y + T_y - 540 = 0 \quad\Rightarrow\quad A_y = 540 - T_y \approx 540 - 269{,}9 \approx 270{,}1\\ \text{N}\\ \text{(para cima)}.

Passo 5

Magnitude e direção da reação em A (opcional, mas útil para interpretar):
  • Magnitude: R_A = \sqrt{A_x^{2}+A_y^{2}} \approx \sqrt{(377{,}9)^2+(270{,}1)^2} \approx 464{,}6\\ \text{N}.
  • Direção (ângulo \varphi acima do eixo horizontal, medido a partir de +\hat{\mathbf{i}}): \varphi = \arctan\!\left(\frac{A_y}{A_x}\right) \approx \arctan\!\left(\frac{270{,}1}{377{,}9}\right)\approx 35{,}7^\circ.
Pequeno comentário encorajador: a conta é basicamente decompor a tração segundo a geometria do cabo, usar equilíbrio de momentos para achar T (isso elimina as incógnitas do pino), e então equilibrar forças para achar as componentes em A. Se ficou confuso em algum passo me fala que eu explico com desenhos passo a passo — você consegue!

Resposta

Tração no cabo: T \approx 464{,}5\\ \text{N}
Reação em A: A_x \approx 377{,}9\\ \text{N} (para a direita)
Reação em A: A_y \approx 270{,}1\\ \text{N} (para cima)
Magnitude da reação em A: R_A \approx 464{,}6\\ \text{N} na direção \varphi \approx 35{,}7^\circ acima da horizontal

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