Uma escada
, de comprimento
e peso
, pode ser elevada por um cabo
. Determine a tração
necessária para levantar a extremidade
apenas acima do chão (a) em termos de
e
, e (b) se
e
.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei estes itens da figura e do texto do problema):
-
Dados gerais:
- Comprimento da escada:
. - Peso (força peso) da escada:
, aplicado no centro de massa . - O centro de massa
fica no ponto médio da escada, à distância da extremidade (isso está indicado na figura). - A escada faz um ângulo
com a horizontal (o ângulo está marcado na figura junto ao ponto ). - Um cabo é preso na extremidade
e passa por uma polia (ver figura). Quando se puxa com tração no cabo, a extremidade é elevada até ficar „apenas acima do chão“ (ou seja, no instante em que está prestes a perder contato com o chão).
- Comprimento da escada:
-
Pedido:
(a) Determinar a traçãonecessária para levantar em termos de e .
(b) Calcular numericamentepara , e . (Da figura também se vê como a altura vertical entre e o chão.)
Observação importante para a resolução (não é pergunta): no instante em que
vai perder contato com o chão, a reação vertical no ponto
é zero. Isso permite escrever o equilíbrio de momentos em torno de
sem precisar conhecer a reação em
.
Passo 2
Princípio físico e estratégia (aula rápida e intuitiva):
- Para um corpo em equilíbrio (estático), a soma vetorial das forças é zero e a soma dos momentos de todas as forças em relação a qualquer ponto também é zero.
- No nosso caso, no instante crítico em que
está prestes a se soltar do chão, a reação em é nula. Então para achar basta impor o equilíbrio de momentos em torno do ponto . - Momento (torque) de uma força em relação a um ponto: se uma força
atua em um ponto cuja posição relativa ao centro é , o momento escalar (em módulo) é , onde é o ângulo entre e . Em forma vetorial o momento é . - Vou calcular o momento do peso
(força vertical para baixo aplicada em ) em torno de , e o momento da tração aplicada em em torno de . Em equilíbrio esses momentos (com seus sinais) se cancelam.
Passo 3
Momento devido ao peso
:
- A distância do ponto
até o centro de massa ao longo da escada é . - Colocando um sistema de referência com origem em
, a coordenada horizontal do ponto (distância horizontal de até a linha de ação do peso) é . (Explicando: a escada forma ângulo com a horizontal, então a componente horizontal do segmento vale .) - O peso
age verticalmente para baixo. O momento escalar em torno de causado por tem módulo
- Esse momento tende a fazer a escada girar no sentido que afasta
do chão? (não é necessário fixar o sentido agora; vamos balancear com o momento produzido por ).
Passo 4
Momento devido à tração
:
- A tração atua em
. A posição de em relação a tem componente horizontal e componente vertical , mas o que interessa para o momento é a distância perpendicular da linha de ação de ao ponto . - Observando a figura vê‑se que o cabo passa por uma polia situada no mesmo nível do ponto
(a polia está no topo, na mesma altura da extremidade da escada). Assim, o segmento do cabo que vai de à polia faz com a horizontal um ângulo tal que . Em particular
(Explicação curta: geometricamente, essa configuração faz com que a soma dos ângulos entre a direção do cabo e a horizontal e entre a escada e a horizontal seja
; na figura isso é visível pela polia no nível de
.)
- Usando a expressão geral do momento que obtivemos antes (ou calculando vetorialmente), o momento produzido pela força
em em torno de tem módulo
- Como vimos
, portanto
Passo 5
Equilíbrio de momentos e fórmula final:
- Em equilíbrio de rotação (somatório dos momentos em torno de
igual a zero), os momentos produzidos por e por se equilibram. Tomando sinais de modo que os módulos se igualem,
- Cancelando
dos dois lados (assumindo ),
- Portanto a expressão pedida em (a) é
Comentário didático: a fórmula diz que quanto maior o ângulo
(escada mais íngreme,
menor), menor a tração necessária para começar a levantar
. Faz sentido físico: escada mais vertical tem menor alavanca que o peso exerce em torno de
.
Passo 6
Cálculo numérico para (b):
- Primeiro determinamos
a partir de e . Na figura a diferença vertical entre e o chão é , que é a componente vertical total da escada; assim
- Substituindo
e :
- Portanto
- Aplicando a fórmula
com :