Uma escada A B, de comprimento L e peso W, pode ser elevada por um cabo B C. Determine a tração T necessária para levantar a extremidade B apenas acima do chão (a) em termos de W e \theta, e (b) se h=2,4 \mathrm{~m}, L=3 \mathrm{~m} e W=158 \mathrm{~N}.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei estes itens da figura e do texto do problema):
  • Dados gerais:
    • Comprimento da escada: L.
    • Peso (força peso) da escada: W, aplicado no centro de massa G.
    • O centro de massa G fica no ponto médio da escada, à distância \tfrac{L}{2} da extremidade A (isso está indicado na figura).
    • A escada faz um ângulo \theta com a horizontal (o ângulo \theta está marcado na figura junto ao ponto A).
    • Um cabo é preso na extremidade B e passa por uma polia (ver figura). Quando se puxa com tração T no cabo, a extremidade B é elevada até ficar „apenas acima do chão“ (ou seja, no instante em que B está prestes a perder contato com o chão).
  • Pedido:
    (a) Determinar a tração T necessária para levantar B em termos de W e \theta.
    (b) Calcular numericamente T para h=2{,}4\\ \text{m}, L=3\\ \text{m} e W=158\\ \text{N}. (Da figura também se vê h como a altura vertical entre A e o chão.)
Observação importante para a resolução (não é pergunta): no instante em que B vai perder contato com o chão, a reação vertical no ponto B é zero. Isso permite escrever o equilíbrio de momentos em torno de A sem precisar conhecer a reação em A.

Passo 2

Princípio físico e estratégia (aula rápida e intuitiva):
  • Para um corpo em equilíbrio (estático), a soma vetorial das forças é zero e a soma dos momentos de todas as forças em relação a qualquer ponto também é zero.
  • No nosso caso, no instante crítico em que B está prestes a se soltar do chão, a reação em B é nula. Então para achar T basta impor o equilíbrio de momentos em torno do ponto A.
  • Momento (torque) de uma força em relação a um ponto: se uma força \mathbf{F} atua em um ponto cuja posição relativa ao centro é \mathbf{r}, o momento escalar (em módulo) é \lvert M\rvert = r\,F\,\sin\varphi, onde \varphi é o ângulo entre \mathbf{r} e \mathbf{F}. Em forma vetorial o momento é \mathbf{M}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}.
  • Vou calcular o momento do peso W (força vertical para baixo aplicada em G) em torno de A, e o momento da tração T aplicada em B em torno de A. Em equilíbrio esses momentos (com seus sinais) se cancelam.

Passo 3

Momento devido ao peso W:
  • A distância do ponto A até o centro de massa G ao longo da escada é \tfrac{L}{2}.
  • Colocando um sistema de referência com origem em A, a coordenada horizontal do ponto G (distância horizontal de A até a linha de ação do peso) é \dfrac{L}{2}\cos\theta. (Explicando: a escada forma ângulo \theta com a horizontal, então a componente horizontal do segmento AG vale \tfrac{L}{2}\cos\theta.)
  • O peso W age verticalmente para baixo. O momento escalar em torno de A causado por W tem módulo
M_W = W\cdot\left(\frac{L}{2}\cos\theta\right).
  • Esse momento tende a fazer a escada girar no sentido que afasta B do chão? (não é necessário fixar o sentido agora; vamos balancear com o momento produzido por T).

Passo 4

Momento devido à tração T:
  • A tração atua em B. A posição de B em relação a A tem componente horizontal L\cos\theta e componente vertical -L\sin\theta, mas o que interessa para o momento é a distância perpendicular da linha de ação de T ao ponto A.
  • Observando a figura vê‑se que o cabo passa por uma polia situada no mesmo nível do ponto A (a polia está no topo, na mesma altura da extremidade A da escada). Assim, o segmento do cabo que vai de B à polia faz com a horizontal um ângulo \varphi tal que \varphi+\theta=90^\circ. Em particular
\sin(\varphi+\theta)=\sin 90^\circ=1.
(Explicação curta: geometricamente, essa configuração faz com que a soma dos ângulos entre a direção do cabo e a horizontal e entre a escada e a horizontal seja 90^\circ; na figura isso é visível pela polia no nível de A.)
  • Usando a expressão geral do momento que obtivemos antes (ou calculando vetorialmente), o momento produzido pela força T em B em torno de A tem módulo
M_T = L\,T\,\sin(\varphi+\theta).
  • Como vimos \sin(\varphi+\theta)=1, portanto
M_T = L\,T.

Passo 5

Equilíbrio de momentos e fórmula final:
  • Em equilíbrio de rotação (somatório dos momentos em torno de A igual a zero), os momentos produzidos por T e por W se equilibram. Tomando sinais de modo que os módulos se igualem,
L\,T = W\cdot\left(\frac{L}{2}\cos\theta\right).
  • Cancelando L dos dois lados (assumindo L\neq0),
T = \frac{W}{2}\cos\theta.
  • Portanto a expressão pedida em (a) é
\boxed{T=\frac{W}{2}\cos\theta.}
Comentário didático: a fórmula diz que quanto maior o ângulo \theta (escada mais íngreme, \cos\theta menor), menor a tração necessária para começar a levantar B. Faz sentido físico: escada mais vertical tem menor alavanca que o peso exerce em torno de A.

Passo 6

Cálculo numérico para (b):
  • Primeiro determinamos \theta a partir de h e L. Na figura a diferença vertical entre A e o chão é h, que é a componente vertical total da escada; assim
\sin\theta=\frac{h}{L}.
  • Substituindo h=2{,}4\\ \text{m} e L=3\\ \text{m}:
\sin\theta=\frac{2{,}4}{3}=0{,}8.
  • Portanto \cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}=\sqrt{1-0{,}8^2}=\sqrt{1-0{,}64}=\sqrt{0{,}36}=0{,}6.
  • Aplicando a fórmula \,T=\dfrac{W}{2}\cos\theta com W=158\\ \text{N}:
T=\frac{158}{2}\cdot 0{,}6 =79\cdot0{,}6=47{,}4\\ \text{N}.

Resposta

\displaystyle T=\frac{W}{2}\cos\theta
\displaystyle T=47{,}4\\ \text{N}

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