(PORTO, 2006, adaptado de 11.6) Em um canal retangular longo, de
de largura, coeficiente de rugosidade
e declividade de fundo igual a
, escoa uma vazão de
em regime uniforme. Em uma seção, existe um degrau construído propositadamente para provocar um ressalto hidráulico a montante. Assim, considerando um escoamento crítico sobre o degrau, determine:
a) As alturas conjugadas do ressalto;
b) A altura do degrau;
c) Quais os materiais que poderiam ter sido usados na construção do canal e em quais estados eles se encontrariam?
a) As alturas conjugadas do ressalto;
b) A altura do degrau;
c) Quais os materiais que poderiam ter sido usados na construção do canal e em quais estados eles se encontrariam?
Passo 1
Vamos decifrar exatamente o que o enunciado diz e quais dados temos (só identificação do que é pedido e dos dados, sem resolver nada ainda).
- O canal é retangular de largura
. - Vazão dada:
. - Coeficiente de rugosidade de Manning:
. - Declividade do fundo:
. - O escoamento é uniforme antes da intervenção (ou seja, em regime uniforme com a declividade dada).
- Em uma seção foi construído um degrau para provocar um ressalto (ressalto = hydraulic jump) a montante.
- O enunciado pede:
a) as alturas conjugadas do ressalto (ou seja, as duas profundidades ligadas pelo ressalto);
b) a altura do degrau;
c) que materiais poderiam ter sido usados no revestimento do canal e em que estado (i.e., associar o valor dea materiais/estados).
Observação sobre interpretação (importante): o enunciado afirma “considerando um escoamento crítico sobre o degrau”. Há duas formas razoáveis de interpretar isso na prática: (I) exigir que a lâmina sobre o degrau seja a lâmina crítica; ou (II) partir do escoamento uniforme longe a montante e admitir que o ressalto se forma imediatamente a montante do degrau e que sobre o degrau a lâmina resultante é crítica. Para a prova eu vou assumir a interpretação prática e física mais comum: o escoamento longe a montante permanece em regime uniforme (profundidade normal
) e a construção do degrau provoca o ressalto imediatamente a montante do degrau; além disso a lâmina sobre o degrau (contando a partir do leito elevando/abaixando pelo degrau) é crítica. Com essa hipótese fica bem determinado o problema e conseguimos calcular passo a passo.
Passo 2
Primeiro precisamos calcular a profundidade normal
do escoamento uniforme antes do degrau. Para isso usamos a fórmula de Manning (canal aberto, retangular):
onde:
-
é a vazão ( ); -
é o coeficiente de Manning (adimensional); -
é a área da seção molhada ( ); -
é o raio hidráulico ( ), definido como sendo o perímetro molhado; -
é a declividade do fundo.
No canal retangular:
Substituindo na equação de Manning e isolando numericamente procuramos
que satisfaça a equação. Antes de iterar é conveniente calcular a constante multiplicativa:
Logo
Substituímos
e resolvemos numericamente por tentativa (vou mostrar iterações sucintas, todas as fórmulas usadas estão explicadas):
Teste aproximado e refinamento:
- Para
obtemos (calculei passo a passo) .
Portanto a profundidade normal é, com boa aproximação,
Explicação rápida do porquê: achamos
fazendo a substituição na fórmula de Manning e ajustando
até que a vazão calculada seja
. Em prova você pode fazer 2–3 iterações por tentativa e erro (ou usar regra de falsa posição) porque a expressão não tem solução analítica simples.
Passo 3
Agora calculamos a profundidade crítica
para canal retangular. Para um canal retangular a condição crítica é dada por:
Aqui:
-
é a gravidade ( ); -
é a largura.
Isolando
:
Substituindo números:
Portanto
Pequena interpretação física:
é a profundidade na qual a energia específica é mínima para o dado fluxo por unidade de largura; separa regimes subcrítico e supercrítico.
Passo 4
Agora tratamos o ressalto hidráulico (hydraulic jump). Para um ressalto entre duas lâminas
(lâmina a montante — normalmente a pequena, supercrítica) e
(lâmina a jusante — maior, subcrítica) a conservação do momento linear (equação de Bélanger / força específica) para canal retangular por unidade de largura nos dá a função momento:
onde
é a descarga por unidade de largura:
No ressalto tem-se
. Esta é a relação que dá as lâminas conjugadas.
Calculemos
:
Com isso podemos achar as lâminas conjugadas dependendo de qual profundidade conhecemos.
No enunciado foi dito “considerando um escoamento crítico sobre o degrau”. A interpretação prática que escolhi (explicada no Passo 1) é: o canal longe a montante permanece com a profundidade normal
e o ressalto forma-se imediatamente a montante do degrau; sobre o degrau (contando a partir do leito na posição do degrau) a lâmina é crítica
. Assim a lâmina a montante do ressalto será a profundidade normal
(pois a montante, longe do degrau, o escoamento era uniforme), e a lâmina a jusante do ressalto (imediatamente antes do degrau, medindo-se em relação ao leito original) será a conjugada de
. Esse é o caminho mais direto e físico: o ressalto transforma a lâmina montante
numa lâmina maior
imediatamente a montante do degrau; para que sobre o degrau a lâmina relativa ao novo leito seja crítica, o degrau (rebaixamento/elevação) ajusta a cota do leito. Vou portanto:
- tomar
(lâmina montante do ressalto), - determinar
tal que .
Calcule
com
:
Fazendo as contas (mostro valores aproximados):
Agora resolvemos
; ou seja,
Resolvendo numericamente esta equação (tentativas sucessivas) obtemos
Logo as lâminas conjugadas do ressalto, sob a hipótese adotada, são:
(Na outra interpretação possível — forçar que a lâmina sobre o degrau seja exatamente a lâmina crítica como profundidade medida a partir do leito original — você teria imposto
e obtido a lâmina conjugada
. Eu expliquei essa alternativa no Passo 1; optei pela interpretação física em que o escoamento longe a montante permanece
.)
Passo 5
Agora determinamos a altura do degrau. Precisamos relacionar a lâmina imediatamente a montante do degrau (medida em relação ao leito original) e a lâmina sobre o degrau (medida em relação ao novo leito feito pelo degrau).
Definições de cota:
- adotemos cota do leito original igual a zero (
); - se o degrau consiste em um rebaixamento do leito (queda do fundo) o novo leito tem cota
(H positivo significa degrau para baixo); - se o degrau é uma elevação (leito sobe) então
(H positivo significa degrau para cima).
No nosso caso, depois do ressalto, a lâmina imediatamente a montante do degrau (medida a partir do leito original) é
. A lâmina sobre o degrau, medida em relação ao leito novo, queremos que seja crítica:
(essa condição vem do enunciado: “escoamento crítico sobre o degrau”).
A relação entre essas quantidades é:
Com
e
se o degrau for um rebaixamento (H positivo), temos:
Substituindo números:
Interpretação:
positivo significa que o leito novo está abaixo do leito original por
; ou seja, o “degrau” necessário é um rebaixamento (queda) do leito de aproximadamente
para que a lâmina sobre o degrau (contada a partir do novo leito) seja crítica. Em linguagem corrente: é necessário um degrau descendente (rebaixamento) de
para que, mantendo a vazão, a lâmina imediatamente sobre o degrau seja crítica e o ressalto se forme a montante, com lâminas conjugadas conforme calculado.
Nota sobre sinal: se você preferir escrever apenas “altura do degrau” como um valor positivo, diga que o degrau é um rebaixamento de magnitude
.
Passo 6
Comentário físico rápido para fixar a intuição: inicialmente o escoamento uniforme tinha
(supercrítico, porque
). Ao rebaixar o leito a jusante em
a profundidade imediatamente a jusante do ressalto (medida em relação ao leito original) fica
e, pousando sobre o degrau rebaixado, a lâmina relativa ao novo leito é
, ou seja, crítica. O ressalto, portanto, fica a montante do degrau conectando
a
conforme a relação de momento.
Passo 7
Materiais possíveis correspondentes a
e estados típicos.
Vou dar uma tabela qualitativa (valores de
típicos para referência) e em seguida dizer quais materiais/estados cabem em
.
Exemplos típicos de
(valores tabulados, aproximados):
- Concreto liso novo:
a . - Concreto comum (revestido, com juntas, desgaste moderado):
a . - Alvenaria assentada bem acabada:
a . - Canal de terra limpo e bem mantido:
a . - Canal com pedras pequenas ou rip-rap arranjado:
a dependendo do estado. - Vegetação leve:
cresce muito (0{,}03–0{,}1).
Com
(valor relativamente baixo, mas não o mais liso), materiais/estado plausíveis são:
- Concreto terminado, com juntas e pequeno desgaste — “concreto acabado, estado bom a razoável”;
- Alvenaria ou pedra assentada com junta fina, em bom estado (sem grandes incrustações) — “maciço/boas condições”;
- Revestimento de pedra regular (rip-rap) bem arrumado, sem muita vegetação — “pedras pequenas a médias, estado limpo”;
- Não é compatível com canal de terra com vegetação (esses têm
significativamente maiores).
Resumo didático e informal: com
o canal provavelmente é revestido (concreto ou alvenaria) em bom estado ou com revestimento em pedras bem arrumadas e limpas. Se o canal fosse de terra sem revestimento a gente esperaria um
bem maior (pior para a vazão).
Resposta
a)
e
b) Altura do degrau (rebaixamento necessário):
(ou seja, o leito deve ser rebaixado em cerca de
para que sobre o degrau a lâmina seja crítica).
c) Com
o canal provavelmente é revestido (por exemplo, concreto acabado ou alvenaria) em bom/regular estado, ou revestimento em pedras (rip-rap) bem arrumado e limpo. Não corresponde a canal de terra com vegetação (esses teriam
maiores).