(PORTO, 2006, adaptado de 11.6) Em um canal retangular longo, de 2,5 \mathrm{~m} de largura, coeficiente de rugosidade \mathrm{n}=0,016 e declividade de fundo igual a 0,010 \mathrm{~m} / \mathrm{m}, escoa uma vazão de 10 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} em regime uniforme. Em uma seção, existe um degrau construído propositadamente para provocar um ressalto hidráulico a montante. Assim, considerando um escoamento crítico sobre o degrau, determine:
a) As alturas conjugadas do ressalto;
b) A altura do degrau;
c) Quais os materiais que poderiam ter sido usados na construção do canal e em quais estados eles se encontrariam?

Passo 1

Vamos decifrar exatamente o que o enunciado diz e quais dados temos (só identificação do que é pedido e dos dados, sem resolver nada ainda).
  • O canal é retangular de largura \,b=2{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Vazão dada: \,Q=10\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Coeficiente de rugosidade de Manning: \,n=0{,}016.
  • Declividade do fundo: \,S_0=0{,}010.
  • O escoamento é uniforme antes da intervenção (ou seja, em regime uniforme com a declividade dada).
  • Em uma seção foi construído um degrau para provocar um ressalto (ressalto = hydraulic jump) a montante.
  • O enunciado pede:
    a) as alturas conjugadas do ressalto (ou seja, as duas profundidades ligadas pelo ressalto);
    b) a altura do degrau;
    c) que materiais poderiam ter sido usados no revestimento do canal e em que estado (i.e., associar o valor de n a materiais/estados).
Observação sobre interpretação (importante): o enunciado afirma “considerando um escoamento crítico sobre o degrau”. Há duas formas razoáveis de interpretar isso na prática: (I) exigir que a lâmina sobre o degrau seja a lâmina crítica; ou (II) partir do escoamento uniforme longe a montante e admitir que o ressalto se forma imediatamente a montante do degrau e que sobre o degrau a lâmina resultante é crítica. Para a prova eu vou assumir a interpretação prática e física mais comum: o escoamento longe a montante permanece em regime uniforme (profundidade normal y_n) e a construção do degrau provoca o ressalto imediatamente a montante do degrau; além disso a lâmina sobre o degrau (contando a partir do leito elevando/abaixando pelo degrau) é crítica. Com essa hipótese fica bem determinado o problema e conseguimos calcular passo a passo.

Passo 2

Primeiro precisamos calcular a profundidade normal \,y_n do escoamento uniforme antes do degrau. Para isso usamos a fórmula de Manning (canal aberto, retangular):
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S_0^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m^3/s});
  • n é o coeficiente de Manning (adimensional);
  • A é a área da seção molhada ( \mathrm{m^2});
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), definido como R=A/P sendo P o perímetro molhado;
  • S_0 é a declividade do fundo.
No canal retangular:
A = b\,y,\qquad P = b + 2y,\qquad R=\frac{b y}{b+2y}.
Substituindo na equação de Manning e isolando numericamente procuramos y=y_n que satisfaça a equação. Antes de iterar é conveniente calcular a constante multiplicativa:
\frac{1}{n}\,S_0^{1/2}=\frac{1}{0{,}016}\sqrt{0{,}010}=62{,}5\cdot 0{,}1=6{,}25.
Logo
Q=6{,}25\;A\,R^{2/3}=6{,}25\; (b y)\left(\frac{b y}{b+2y}\right)^{2/3}.
Substituímos b=2{,}5 e resolvemos numericamente por tentativa (vou mostrar iterações sucintas, todas as fórmulas usadas estão explicadas):
Teste aproximado e refinamento:
  • Para y=0{,}961\\ \mathrm{m} obtemos (calculei passo a passo) Q\approx10{,}00\\ \mathrm{m^3/s}.
Portanto a profundidade normal é, com boa aproximação,
y_n \approx 0{,}961\\ \mathrm{m}.
Explicação rápida do porquê: achamos y_n fazendo a substituição na fórmula de Manning e ajustando y até que a vazão calculada seja 10\\ \mathrm{m^3/s}. Em prova você pode fazer 2–3 iterações por tentativa e erro (ou usar regra de falsa posição) porque a expressão não tem solução analítica simples.

Passo 3

Agora calculamos a profundidade crítica \,y_c para canal retangular. Para um canal retangular a condição crítica é dada por:
\frac{Q^2}{g} = b\, y_c^3.
Aqui:
  • g é a gravidade ( g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2});
  • b é a largura.
Isolando y_c:
y_c = \left(\frac{Q^2}{g b}\right)^{1/3}.
Substituindo números:
\frac{Q^2}{g b}=\frac{10^2}{9{,}81\cdot 2{,}5}=\frac{100}{24{,}525}\approx 4{,}077,
y_c \approx 4{,}077^{1/3}\approx 1{,}598\\ \mathrm{m}.
Portanto
y_c \approx 1{,}598\\ \mathrm{m}.
Pequena interpretação física: y_c é a profundidade na qual a energia específica é mínima para o dado fluxo por unidade de largura; separa regimes subcrítico e supercrítico.

Passo 4

Agora tratamos o ressalto hidráulico (hydraulic jump). Para um ressalto entre duas lâminas y_1 (lâmina a montante — normalmente a pequena, supercrítica) e y_2 (lâmina a jusante — maior, subcrítica) a conservação do momento linear (equação de Bélanger / força específica) para canal retangular por unidade de largura nos dá a função momento:
m(y)=\frac{q^2}{g\,y}+\frac{y^2}{2},
onde q é a descarga por unidade de largura:
q=\frac{Q}{b}.
No ressalto tem-se m(y_1)=m(y_2). Esta é a relação que dá as lâminas conjugadas.
Calculemos q:
q=\frac{Q}{b}=\frac{10}{2{,}5}=4{,}0\\ \mathrm{m^2/s}.
Com isso podemos achar as lâminas conjugadas dependendo de qual profundidade conhecemos.
No enunciado foi dito “considerando um escoamento crítico sobre o degrau”. A interpretação prática que escolhi (explicada no Passo 1) é: o canal longe a montante permanece com a profundidade normal y_n e o ressalto forma-se imediatamente a montante do degrau; sobre o degrau (contando a partir do leito na posição do degrau) a lâmina é crítica (y_{\text{sobre degrau}}=y_c). Assim a lâmina a montante do ressalto será a profundidade normal y_n (pois a montante, longe do degrau, o escoamento era uniforme), e a lâmina a jusante do ressalto (imediatamente antes do degrau, medindo-se em relação ao leito original) será a conjugada de y_n. Esse é o caminho mais direto e físico: o ressalto transforma a lâmina montante y_n numa lâmina maior y_2 imediatamente a montante do degrau; para que sobre o degrau a lâmina relativa ao novo leito seja crítica, o degrau (rebaixamento/elevação) ajusta a cota do leito. Vou portanto:
  • tomar y_1 = y_n = 0{,}961\\ \mathrm{m} (lâmina montante do ressalto),
  • determinar y_2 tal que m(y_1)=m(y_2).
Calcule m(y_1) com y_1=0{,}961:
m(y_1)=\frac{q^2}{g y_1}+\frac{y_1^2}{2} =\frac{4^2}{9{,}81\cdot 0{,}961}+\frac{0{,}961^2}{2}.
Fazendo as contas (mostro valores aproximados):
\frac{16}{9{,}81\cdot 0{,}961}\approx \frac{16}{9{,}431}\approx 1{,}697,
\frac{0{,}961^2}{2}=\frac{0{,}9235}{2}\approx 0{,}4618,
m(y_1)\approx 1{,}697+0{,}4618=2{,}1588\\ (\text{unidades de }\mathrm{m^2}).
Agora resolvemos m(y_2)=2{,}1588; ou seja,
\frac{16}{9{,}81\;y_2}+\frac{y_2^2}{2}=2{,}1588.
Resolvendo numericamente esta equação (tentativas sucessivas) obtemos
y_2 \approx 1{,}420\\ \mathrm{m}.
Logo as lâminas conjugadas do ressalto, sob a hipótese adotada, são:
y_1 = y_n \approx 0{,}961\\ \mathrm{m}\quad\text{e}\quad y_2\approx 1{,}420\\ \mathrm{m}.
(Na outra interpretação possível — forçar que a lâmina sobre o degrau seja exatamente a lâmina crítica como profundidade medida a partir do leito original — você teria imposto y_2=y_c e obtido a lâmina conjugada y_1\approx 0{,}838\\ \mathrm{m}. Eu expliquei essa alternativa no Passo 1; optei pela interpretação física em que o escoamento longe a montante permanece y_n.)

Passo 5

Agora determinamos a altura do degrau. Precisamos relacionar a lâmina imediatamente a montante do degrau (medida em relação ao leito original) e a lâmina sobre o degrau (medida em relação ao novo leito feito pelo degrau).
Definições de cota:
  • adotemos cota do leito original igual a zero ( z_{\text{leito,orig}}=0);
  • se o degrau consiste em um rebaixamento do leito (queda do fundo) o novo leito tem cota z_{\text{novo}}=z_{\text{orig}}-H (H positivo significa degrau para baixo);
  • se o degrau é uma elevação (leito sobe) então z_{\text{novo}}=z_{\text{orig}}+H (H positivo significa degrau para cima).
No nosso caso, depois do ressalto, a lâmina imediatamente a montante do degrau (medida a partir do leito original) é y_2\approx1{,}420\\ \mathrm{m}. A lâmina sobre o degrau, medida em relação ao leito novo, queremos que seja crítica: y_{\text{sobre}}=y_c\approx1{,}598\\ \mathrm{m} (essa condição vem do enunciado: “escoamento crítico sobre o degrau”).
A relação entre essas quantidades é:
\text{elevação da superfície livre (mesma em ambas posições)} = z_{\text{orig}}+y_2 = z_{\text{novo}} + y_{\text{sobre}}.çãíçõ
Com z_{\text{orig}}=0 e z_{\text{novo}}=0-H se o degrau for um rebaixamento (H positivo), temos:
y_2 = -H + y_{\text{sobre}} \quad\Rightarrow\quad H = y_{\text{sobre}} - y_2 = y_c - y_2.
Substituindo números:
H = 1{,}598 - 1{,}420 = 0{,}178\\ \mathrm{m}.
Interpretação: H=0{,}178\\ \mathrm{m} positivo significa que o leito novo está abaixo do leito original por 0{,}178\\ \mathrm{m}; ou seja, o “degrau” necessário é um rebaixamento (queda) do leito de aproximadamente 0{,}178\\ \mathrm{m} para que a lâmina sobre o degrau (contada a partir do novo leito) seja crítica. Em linguagem corrente: é necessário um degrau descendente (rebaixamento) de 0{,}178\\ \mathrm{m} para que, mantendo a vazão, a lâmina imediatamente sobre o degrau seja crítica e o ressalto se forme a montante, com lâminas conjugadas conforme calculado.
Nota sobre sinal: se você preferir escrever apenas “altura do degrau” como um valor positivo, diga que o degrau é um rebaixamento de magnitude 0{,}178\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Comentário físico rápido para fixar a intuição: inicialmente o escoamento uniforme tinha \,y_n\approx0{,}961\\ \mathrm{m} (supercrítico, porque y_n<y_c). Ao rebaixar o leito a jusante em 0{,}178\\ \mathrm{m} a profundidade imediatamente a jusante do ressalto (medida em relação ao leito original) fica y_2\approx1{,}420\\ \mathrm{m} e, pousando sobre o degrau rebaixado, a lâmina relativa ao novo leito é y_2 - (-0{,}178) = 1{,}598=y_c, ou seja, crítica. O ressalto, portanto, fica a montante do degrau conectando y_1=y_n a y_2 conforme a relação de momento.

Passo 7

Materiais possíveis correspondentes a n=0{,}016 e estados típicos.
Vou dar uma tabela qualitativa (valores de n típicos para referência) e em seguida dizer quais materiais/estados cabem em n=0{,}016.
Exemplos típicos de n (valores tabulados, aproximados):
  • Concreto liso novo: n\approx 0{,}011 a 0{,}013.
  • Concreto comum (revestido, com juntas, desgaste moderado): n\approx 0{,}013 a 0{,}016.
  • Alvenaria assentada bem acabada: n\approx0{,}013 a 0{,}016.
  • Canal de terra limpo e bem mantido: n\approx0{,}020 a 0{,}025.
  • Canal com pedras pequenas ou rip-rap arranjado: n\approx0{,}015 a 0{,}030 dependendo do estado.
  • Vegetação leve: n cresce muito (0{,}03–0{,}1).
Com n=0{,}016 (valor relativamente baixo, mas não o mais liso), materiais/estado plausíveis são:
  • Concreto terminado, com juntas e pequeno desgaste — “concreto acabado, estado bom a razoável”;
  • Alvenaria ou pedra assentada com junta fina, em bom estado (sem grandes incrustações) — “maciço/boas condições”;
  • Revestimento de pedra regular (rip-rap) bem arrumado, sem muita vegetação — “pedras pequenas a médias, estado limpo”;
  • Não é compatível com canal de terra com vegetação (esses têm n significativamente maiores).
Resumo didático e informal: com n=0{,}016 o canal provavelmente é revestido (concreto ou alvenaria) em bom estado ou com revestimento em pedras bem arrumadas e limpas. Se o canal fosse de terra sem revestimento a gente esperaria um n bem maior (pior para a vazão).

Resposta

a) \;y_{\text{montante}}=y_1 \approx 0{,}961\\ \mathrm{m} e \;y_{\text{jusante}}=y_2 \approx 1{,}420\\ \mathrm{m}.
b) Altura do degrau (rebaixamento necessário): \;H \approx 0{,}178\\ \mathrm{m} (ou seja, o leito deve ser rebaixado em cerca de 0{,}178\\ \mathrm{m} para que sobre o degrau a lâmina seja crítica).
c) Com n=0{,}016 o canal provavelmente é revestido (por exemplo, concreto acabado ou alvenaria) em bom/regular estado, ou revestimento em pedras (rip-rap) bem arrumado e limpo. Não corresponde a canal de terra com vegetação (esses teriam n maiores).

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