Questāo 2. \{2,5 pontos \} Um passaro (considerado uma fonte puntiforme) emite um som com poténcia constante, em uma intensidade que varia com o inverso do quadrado da distáncia entre o pássaro e o ouvinte. Qual é a variação do nível de intensidade sonora \beta do som do passarinibo. quando você se afasta até o triplo da distância entre você e o pássaro?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Informação: O pássaro é considerado uma fonte puntiforme que emite potência sonora constante.
  • Informação: A intensidade sonora I varia com o inverso do quadrado da distância entre a fonte e o ouvinte, isto é, I\propto \dfrac{1}{r^{2}}.
  • Informação: Começamos a uma distância r do pássaro e nos afastamos até a distância 3r.
  • Pergunta: Qual é a variação do nível de intensidade sonora \beta quando a distância passa de r para 3r?

Passo 2

Definição importante — o que é intensidade e o que é nível sonoro em decibéis:
  • Intensidade I é a potência por unidade de área recebida pela orelha; tem unidade \mathrm{W/m^{2}}.
  • O nível de intensidade sonora \beta (em decibéis) é definido por
\beta = 10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_{0}}\right),
onde I_{0} é a intensidade de referência (normalmente I_{0}=10^{-12}\\ \mathrm{W/m^{2}}). Aqui só importa a razão entre intensidades, então o valor de I_{0} cancela mais adiante.
Expliquei essa fórmula porque é a que relaciona intensidade física I com o número \beta que usamos em acústica. A função \log_{10} é o logaritmo na base 10.

Passo 3

Queremos a variação do nível sonoro ao mudar a intensidade de I_{1} (na distância r) para I_{2} (na distância 3r). A variação \Delta\beta é
\Delta\beta=\beta_{2}-\beta_{1}=10\log_{10}\!\left(\frac{I_{2}}{I_{0}}\right)-10\log_{10}\!\left(\frac{I_{1}}{I_{0}}\right)=10\log_{10}\!\left(\frac{I_{2}}{I_{1}}\right).
Mostrei a simplificação usando a propriedade de logaritmos \log a - \log b = \log(a/b).

Passo 4

Usamos a lei do inverso do quadrado para relacionar I_{1} e I_{2}. Como I\propto 1/r^{2}, ao passar de r para 3r temos
\frac{I_{2}}{I_{1}}=\frac{1/(3r)^{2}}{1/r^{2}}=\frac{1}{9}.
Expliquei isso: triplicar a distância reduz a intensidade por um fator 3^{2}=9.

Passo 5

Substituindo \dfrac{I_{2}}{I_{1}}=\dfrac{1}{9} em \Delta\beta:
\Delta\beta=10\log_{10}\!\left(\frac{1}{9}\right)=10\log_{10}\!\left(9^{-1}\right)=-10\log_{10}(9).
Usando 9=3^{2} podemos escrever
\Delta\beta=-10\log_{10}(3^{2})=-20\log_{10}(3).
Isto é uma forma elegante e exata da resposta em termos de \log_{10}3.

Passo 6

Agora um cálculo numérico para ficar com valor prático. Sabemos (ou usamos uma tabela/calculadora de logaritmos) que
\log_{10}(3)\approx 0,4771212547.
Então
\Delta\beta=-20\cdot 0,4771212547\approx -9,542425094.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
\Delta\beta\approx -9,54\\ \mathrm{dB}.
Interpretação: o sinal negativo significa que o nível sonoro diminui; portanto o som fica cerca de 9{,}54\\ \mathrm{dB} mais fraco ao triplicar a distância.

Resposta

\Delta\beta=-20\log_{10}3\approx -9{,}54\\ \mathrm{dB}

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