onde 0 \leq q_{3} \leq 2 \pi, q_{1} \geq 0 e q_{2} \geq 0. (a) Identifique as superfícies q_{1}= const. e q_{2}= const… (b) Os vetores unitários são ortogonais? (c) Determine os coeficientes métricos, o elemento de distância d s entre dois pontos infinitesimalmente próximos, e o elemento de volume d V.
Passo 1
O enunciado dá as relações entre coordenadas cartesianas (x_{1},x_{2},x_{3}) e coordenadas curvilíneas (q_{1},q_{2},q_{3}):
As perguntas são:
(a) Identificar as superfícies q_{1}= const. e q_{2}= const.;
(b) Verificar se os vetores unitários são ortogonais;
(c) Determinar os coeficientes métricos h_{1},h_{2},h_{3}, o elemento de distância ds e o elemento de volume dV.
Passo 2
Primeiro simplifico a notação radial no plano x_{1}x_{2}. Defino
q_{2}=\frac{r^{2}}{4q_{1}}\qquad(\text{desde que }q_{1}>0).
Substituo isso em x_{3}=q_{1}-q_{2} para obter a equação da superfície q_{1}= const.:
x_{3}=q_{1}-\frac{r^{2}}{4q_{1}}.
Portanto, para cada valor fixo de q_{1} a superfície no espaço é dada por
x_{3}=q_{1}-\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{4q_{1}}.
Passo 3
Interpretação geométrica da expressão do Passo 2: a equação
x_{3}=q_{1}-\frac{r^{2}}{4q_{1}}
é uma superfície de revolução em torno do eixo x_{3} (pois depende apenas de r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}), com formato paraboloidal (é uma parábola em termos de r para cada seção axial). Logo, as superfícies q_{1}= const. são paraboloides de revolução com eixo x_{3}.
Passo 4
Faço o mesmo raciocínio para q_{2}= const. a partir de r^{2}=4q_{1}q_{2}. Isolo q_{1}=\dfrac{r^{2}}{4q_{2}} (para q_{2}>0) e uso x_{3}=q_{1}-q_{2}:
x_{3}=\frac{r^{2}}{4q_{2}}-q_{2}.
Portanto as superfícies q_{2}= const. também são paraboloides de revolução (com perfil dado por x_{3}=\dfrac{r^{2}}{4q_{2}}-q_{2}).
Passo 5
Agora vamos construir os vetores base covariantes \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_{i}} (vetores tangentes às curvas q_{j}= const, j\neq i). Escrevo o vetor posição \mathbf{r}=(x_{1},x_{2},x_{3}) e calculo derivadas parciais. Para simplificar uso \rho=2\sqrt{q_{1}q_{2}}.
Produto \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_{2}}\cdot \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_{3}} é análogo e dá 0.
Como todos os produtos mistos são 0, os vetores base são mutuamente ortogonais. Consequentemente, os vetores unitários ao longo das coordenadas (obtidos normalizando esses vetores base) também são ortogonais. Resposta: sim, o sistema é ortogonal.
Passo 7
Agora calculo os coeficientes métricos (fatores de escala) h_{i}=\big\lVert \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{i}}\big\rVert.
(a) As superfícies q_{1}= const. são dadas por \displaystyle x_{3}=q_{1}-\dfrac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{4q_{1}} (paraboloides de revolução em torno do eixo x_{3}); as superfícies q_{2}= const. são dadas por \displaystyle x_{3}=\dfrac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{4q_{2}}-q_{2} (também paraboloides de revolução).
(b) Sim: os vetores unitários das direções q_{1},q_{2},q_{3} são mutuamente ortogonais (o sistema é ortogonal).
(c) Coeficientes métricos: \displaystyle h_{1}=\sqrt{\frac{q_{1}+q_{2}}{q_{1}}},\quad h_{2}=\sqrt{\frac{q_{1}+q_{2}}{q_{2}}},\quad h_{3}=2\sqrt{q_{1}q_{2}}.
Elemento de distância: \displaystyle ds^{2}=\frac{q_{1}+q_{2}}{q_{1}}\,dq_{1}^{2}+\frac{q_{1}+q_{2}}{q_{2}}\,dq_{2}^{2}+4q_{1}q_{2}\,dq_{3}^{2}.
Elemento de volume: \displaystyle dV=2\,(q_{1}+q_{2})\,dq_{1}\,dq_{2}\,dq_{3}.