(2,5 pontos) Seja um sistema de coordenadas definido pelas relações:
x_{1}=2 \sqrt{q_{1} q_{2}} \cos q_{3}, x_{2}=2 \sqrt{q_{1} q_{2}} \operatorname{sen} q_{3}, x_{3}=q_{1}-q_{2}
onde 0 \leq q_{3} \leq 2 \pi, q_{1} \geq 0 e q_{2} \geq 0. (a) Identifique as superfícies q_{1}= const. e q_{2}= const… (b) Os vetores unitários são ortogonais? (c) Determine os coeficientes métricos, o elemento de distância d s entre dois pontos infinitesimalmente próximos, e o elemento de volume d V.

Passo 1

O enunciado dá as relações entre coordenadas cartesianas (x_{1},x_{2},x_{3}) e coordenadas curvilíneas (q_{1},q_{2},q_{3}):
x_{1}=2\sqrt{q_{1}q_{2}}\cos q_{3},\qquad x_{2}=2\sqrt{q_{1}q_{2}}\sin q_{3},\qquad x_{3}=q_{1}-q_{2},
com 0\le q_{3}\le 2\pi, q_{1}\ge 0, q_{2}\ge 0.
As perguntas são:
(a) Identificar as superfícies q_{1}= const. e q_{2}= const.;
(b) Verificar se os vetores unitários são ortogonais;
(c) Determinar os coeficientes métricos h_{1},h_{2},h_{3}, o elemento de distância ds e o elemento de volume dV.

Passo 2

Primeiro simplifico a notação radial no plano x_{1}x_{2}. Defino
r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}.
A partir das fórmulas dadas temos
r^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(2\sqrt{q_{1}q_{2}})^{2}=4q_{1}q_{2}.
Isolo q_{2} em função de r e q_{1}:
q_{2}=\frac{r^{2}}{4q_{1}}\qquad(\text{desde que }q_{1}>0).
Substituo isso em x_{3}=q_{1}-q_{2} para obter a equação da superfície q_{1}= const.:
x_{3}=q_{1}-\frac{r^{2}}{4q_{1}}.
Portanto, para cada valor fixo de q_{1} a superfície no espaço é dada por
x_{3}=q_{1}-\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{4q_{1}}.

Passo 3

Interpretação geométrica da expressão do Passo 2: a equação
x_{3}=q_{1}-\frac{r^{2}}{4q_{1}}
é uma superfície de revolução em torno do eixo x_{3} (pois depende apenas de r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}), com formato paraboloidal (é uma parábola em termos de r para cada seção axial). Logo, as superfícies q_{1}= const. são paraboloides de revolução com eixo x_{3}.

Passo 4

Faço o mesmo raciocínio para q_{2}= const. a partir de r^{2}=4q_{1}q_{2}. Isolo q_{1}=\dfrac{r^{2}}{4q_{2}} (para q_{2}>0) e uso x_{3}=q_{1}-q_{2}:
x_{3}=\frac{r^{2}}{4q_{2}}-q_{2}.
Portanto as superfícies q_{2}= const. também são paraboloides de revolução (com perfil dado por x_{3}=\dfrac{r^{2}}{4q_{2}}-q_{2}).

Passo 5

Agora vamos construir os vetores base covariantes \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_{i}} (vetores tangentes às curvas q_{j}= const, j\neq i). Escrevo o vetor posição \mathbf{r}=(x_{1},x_{2},x_{3}) e calculo derivadas parciais. Para simplificar uso \rho=2\sqrt{q_{1}q_{2}}.
Derivo componente a componente:
Derivadas em relação a q_{1}:
\frac{\partial x_{1}}{\partial q_{1}}=\frac{\partial}{\partial q_{1}}\big(2\sqrt{q_{1}q_{2}}\cos q_{3}\big) = \bigg(2\cdot\frac{1}{2}\frac{\sqrt{q_{2}}}{\sqrt{q_{1}}}\bigg)\cos q_{3} =\sqrt{\frac{q_{2}}{q_{1}}}\cos q_{3},
\frac{\partial x_{2}}{\partial q_{1}}=\sqrt{\frac{q_{2}}{q_{1}}}\sin q_{3},\qquad \frac{\partial x_{3}}{\partial q_{1}}=1.
Logo
\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_{1}}=\Big(\sqrt{\tfrac{q_{2}}{q_{1}}}\cos q_{3},\\ \sqrt{\tfrac{q_{2}}{q_{1}}}\sin q_{3},\\\ 1\Big).
Derivadas em relação a q_{2} (simétricas):
\frac{\partial x_{1}}{\partial q_{2}}=\sqrt{\frac{q_{1}}{q_{2}}}\cos q_{3},\qquad \frac{\partial x_{2}}{\partial q_{2}}=\sqrt{\frac{q_{1}}{q_{2}}}\sin q_{3},\qquad \frac{\partial x_{3}}{\partial q_{2}}=-1,
ou seja
\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_{2}}=\Big(\sqrt{\tfrac{q_{1}}{q_{2}}}\cos q_{3},\\ \sqrt{\tfrac{q_{1}}{q_{2}}}\sin q_{3},\\\ -1\Big).
Derivadas em relação a q_{3}:
\frac{\partial x_{1}}{\partial q_{3}}=-2\sqrt{q_{1}q_{2}}\sin q_{3}=-\rho\sin q_{3},\qquad \frac{\partial x_{2}}{\partial q_{3}}=2\sqrt{q_{1}q_{2}}\cos q_{3}=\rho\cos q_{3},\qquad \frac{\partial x_{3}}{\partial q_{3}}=0,
ou seja
\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_{3}}=\big(-\rho\sin q_{3},\\ \rho\cos q_{3},\\\ 0\big).

Passo 6

Verifico ortogonalidade calculando produtos escalares entre esses vetores:
Produto \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_{1}}\cdot \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_{2}}:
\sqrt{\tfrac{q_{2}}{q_{1}}}\sqrt{\tfrac{q_{1}}{q_{2}}}(\cos^{2}q_{3}+\sin^{2}q_{3})+1\cdot(-1)=1-1=0.
Produto \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_{1}}\cdot \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_{3}}:
\sqrt{\tfrac{q_{2}}{q_{1}}}\cos q_{3}(-\rho\sin q_{3})+\sqrt{\tfrac{q_{2}}{q_{1}}}\sin q_{3}(\rho\cos q_{3})+1\cdot 0 =\rho\sqrt{\tfrac{q_{2}}{q_{1}}}(-\cos q_{3}\sin q_{3}+\sin q_{3}\cos q_{3})=0.
Produto \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_{2}}\cdot \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_{3}} é análogo e dá 0.
Como todos os produtos mistos são 0, os vetores base são mutuamente ortogonais. Consequentemente, os vetores unitários ao longo das coordenadas (obtidos normalizando esses vetores base) também são ortogonais. Resposta: sim, o sistema é ortogonal.

Passo 7

Agora calculo os coeficientes métricos (fatores de escala) h_{i}=\big\lVert \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{i}}\big\rVert.
Norma de \partial\mathbf{r}/\partial q_{1}:
h_{1}^{2}=\Big(\sqrt{\tfrac{q_{2}}{q_{1}}}\Big)^{2}(\cos^{2}q_{3}+\sin^{2}q_{3})+1^{2} =\frac{q_{2}}{q_{1}}+1=\frac{q_{1}+q_{2}}{q_{1}}.
Logo
h_{1}=\sqrt{\frac{q_{1}+q_{2}}{q_{1}}}.
Norma de \partial\mathbf{r}/\partial q_{2}:
h_{2}^{2}=\frac{q_{1}}{q_{2}}+1=\frac{q_{1}+q_{2}}{q_{2}},
portanto
h_{2}=\sqrt{\frac{q_{1}+q_{2}}{q_{2}}}.
Norma de \partial\mathbf{r}/\partial q_{3}:
h_{3}^{2}=(-\rho\sin q_{3})^{2}+(\rho\cos q_{3})^{2}=\rho^{2}=(2\sqrt{q_{1}q_{2}})^{2}=4q_{1}q_{2},
logo
h_{3}=2\sqrt{q_{1}q_{2}}.

Passo 8

Em coordenadas ortogonais a expressão do elemento de comprimento quadrado é
ds^{2}=h_{1}^{2}\,dq_{1}^{2}+h_{2}^{2}\,dq_{2}^{2}+h_{3}^{2}\,dq_{3}^{2}.
Substituindo os h_{i}^{2} encontrados:
ds^{2}=\frac{q_{1}+q_{2}}{q_{1}}\,dq_{1}^{2}+\frac{q_{1}+q_{2}}{q_{2}}\,dq_{2}^{2}+4q_{1}q_{2}\,dq_{3}^{2}.
O elemento de comprimento (não ao quadrado) é ds=\sqrt{ds^{2}} (normalmente usamos ds^{2} para cálculos).

Passo 9

O elemento de volume em coordenadas ortogonais é dado pelo produto dos fatores de escala vezes dq_{1}dq_{2}dq_{3}:
dV=h_{1}h_{2}h_{3}\,dq_{1}dq_{2}dq_{3}.
Calculo o produto:
h_{1}h_{2}h_{3} =\sqrt{\frac{q_{1}+q_{2}}{q_{1}}}\,\sqrt{\frac{q_{1}+q_{2}}{q_{2}}}\,(2\sqrt{q_{1}q_{2}}) =2\,(q_{1}+q_{2}).
Portanto
dV=2\,(q_{1}+q_{2})\,dq_{1}dq_{2}dq_{3}.

Resposta

(a) As superfícies q_{1}= const. são dadas por \displaystyle x_{3}=q_{1}-\dfrac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{4q_{1}} (paraboloides de revolução em torno do eixo x_{3}); as superfícies q_{2}= const. são dadas por \displaystyle x_{3}=\dfrac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{4q_{2}}-q_{2} (também paraboloides de revolução).
(b) Sim: os vetores unitários das direções q_{1},q_{2},q_{3} são mutuamente ortogonais (o sistema é ortogonal).
(c) Coeficientes métricos:
\displaystyle h_{1}=\sqrt{\frac{q_{1}+q_{2}}{q_{1}}},\quad h_{2}=\sqrt{\frac{q_{1}+q_{2}}{q_{2}}},\quad h_{3}=2\sqrt{q_{1}q_{2}}.
Elemento de distância:
\displaystyle ds^{2}=\frac{q_{1}+q_{2}}{q_{1}}\,dq_{1}^{2}+\frac{q_{1}+q_{2}}{q_{2}}\,dq_{2}^{2}+4q_{1}q_{2}\,dq_{3}^{2}.
Elemento de volume:
\displaystyle dV=2\,(q_{1}+q_{2})\,dq_{1}\,dq_{2}\,dq_{3}.

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