(PORTO, 2006, adaptado de 11.7) Em um longo canal trapezoidal com 1 metro de largura de fundo, taludes
, feito de argamassa de cimento em más condições, declividade de fundo de
, foi colocado um vertedor de parede espessa de
de altura, provocando o aparecimento de um ressalto a sua jusante e um remanso de elevação a montante. A altura da água em cima do degrau é 0,65 metro. Determinar:
a) Vazão;
b) Altura d’água no canal antes da colocação do degrau;
c) Altura d’água imediatamente a montante do degrau;
d) Quais os outros materiais que poderiam ter sido utilizados na construção do canal?
a) Vazão;
b) Altura d’água no canal antes da colocação do degrau;
c) Altura d’água imediatamente a montante do degrau;
d) Quais os outros materiais que poderiam ter sido utilizados na construção do canal?
Passo 1
Vou resumir com calma o que o enunciado dá e o que ele pede (tudo bem explicado, sem resolver ainda):
- Dados do canal:
-
Foi colocado um vertedor (um degrau) de altura
. O enunciado fala que apareceu um ressalto (ressalto hidráulico) a jusante e um remanso de elevação a montante — portanto o escoamento fica supercrítico na lâmina que passa sobre o degrau e depois ocorre um ressalto (salto hidráulico) mais adiante; a montante forma-se um remanso (elevação da lâmina). -
O enunciado afirma: "A altura da água em cima do degrau é
". Interpretação adotada (explico por que): isso costuma significar a lâmina sobre o topo do degrau (a lâmina “sobre” o degrau, medida acima da face superior do degrau). Como o topo do degrau fica acima do fundo do canal, a profundidade da água imediatamente depois do degrau (medida a partir do fundo do canal) é Essa é a lâmina na parte supercrítica logo após atravessar o degrau (antes do ressalto). Eu uso essa interpretação porque é a que mantém coerência entre a presença do degrau (cujas dimensões se medem em relação ao fundo) e a expressão “em cima do degrau” para a lâmina. -
O que o enunciado pede:
a) a vazão;
b) a altura d’água no canal antes da colocação do degrau (isto é, a profundidade normalcorrespondente ao escoamento uniforme para a mesma vazão e declividade );
c) a altura d’água imediatamente a montante do degrau (a lâmina imediatamente antes do degrau, devido ao remanso);
d) listar outros materiais que poderiam ser usados na construção do canal. -
Informações adicionais necessárias e hipóteses:
- Precisamos usar uma equação de salto hidráulico (conservação do momento linear) para relacionar a profundidade supercrítica logo após o degrau
e a profundidade subcrítica correspondente a jusante/normal . No problema prático, o salto ocorrido a jusante estabelece uma profundidade subcrítica que, em canal muito longo, tende ao valor da profundidade normal (escoamento uniforme em trecho longo). Portanto usaremos a relação de conservação do momento entre a seção supercrítica logo após o degrau (índice 1) e a seção subcrítica a jusante (índice 2), que aqui será identificada com a profundidade normal . - Para ligar
à vazão usamos a fórmula de Manning (é a fórmula usual para escoamento em canais abertos rústicos), que pede um coeficiente de rugosidade . O enunciado diz que o canal é feito de “argamassa de cimento em más condições” → isso implica rugosidade relativamente alta. Adoto o valor típico justificando que argamassa de cimento em más condições é mais rugosa que concreto bom (0,012–0,015) e tabelas usuais indicam valores na faixa – ; escolhi como valor representativo (se você souber outro valor a usar na prova, basta substituir e recalcular). - A resolução vai requerer cálculo de área da seção, perímetro molhado e raio hidráulico para a seção trapezoidal, e a expressão da função momento (função de momento ou “força específica”) usada no salto hidráulico:
onde é a área da seção e é a altura do centróide da área em relação ao fundo (explico no passo seguinte como calcular). - Valores numéricos:
.
- Precisamos usar uma equação de salto hidráulico (conservação do momento linear) para relacionar a profundidade supercrítica logo após o degrau
A partir daqui, começo a resolver passo a passo, mostrando as fórmulas, como obter cada termo e fazendo as contas detalhadas.
Passo 2
Representações geométricas e fórmulas básicas para a seção trapezoidal (tudo explicadinho):
-
Para uma lâmina
(medida do fundo verticalmente até a superfície livre), a área da seção transversal do canal trapezoidal com fundo e talude (horizontal por vertical) é Explicação: o retângulo central tem área. Cada uma das duas faixas laterais é um triângulo de base horizontal e altura vertical , área ; somando as duas dá . -
A largura no topo (largura superficial) é
-
O perímetro molhado éporque cada lado inclinado tem comprimento
. -
O raio hidráulico é
. -
O centróide vertical da área (a distância do fundo até o baricentro da área) éExplicação rápida: primeiro momento do retângulo (área
) é . Para cada triângulo lateral, é mais direto integrar: a largura local a altura é , então a contribuição do primeiro momento é . Como há duas laterais, soma-se . -
A função momento (ou força específica) em uma seção ée a conservação do momento entre duas seções (1 antes do salto supercrítico e 2 após o salto subcrítico) dá
. Como temos as mesmas formas de seção (prismáticas) o método é aplicável diretamente.
Passo 3
Identificação das seções e dos valores conhecidos:
-
Seção 1: logo após o degrau, onde o escoamento é supercrítico antes do ressalto. A lâmina medida desde o fundo do canal (como adotado no Passo 1) é(soma do degrau
com a lâmina sobre o degrau ; essa é a profundidade do fluxo na seção 1, medida a partir do fundo do canal). -
Seção 2: trecho subcrítico a jusante, depois do ressalto; em um canal longo, o trecho a montante e jusante tende à profundidade normal
associada ao escoamento uniforme. Aqui identificamos a profundidade subcrítica após o ressalto com a profundidade normal do canal antes de colocarmos o degrau: -
Nossa incógnita primária será
. As incógnitas auxiliares: (profundidade normal) e eventualmente a profundidade exatamente a montante do degrau (resposta c) que vou comentar depois).
Resumo do que usaremos:
- Equação do salto (conservação do momento) entre as seções 1 e 2:
→ dá uma relação entre e . - Equação de escoamento uniforme (Manning) para profundidade normal
e declive : . Isso dá outra relação entre e . - Resolveremos o sistema (numérico) para obter
e .
Passo 4
Cálculo dos termos na seção 1 (tudo passo a passo):
Dados:
,
,
.
-
Área na seção 1:Calcule:logo
-
Primeiro momento / numerador do centróide:Calcule
. Então Soma =. -
Centróide:
-
Portanto a função momento
(em termos de ) é O segundo termo é numérico:Anotamospara usar na igualdade .
Passo 5
Expressões gerais e preparação para resolver (seção 2 em função de
):
- Para uma profundidade genérica
(ainda incógnita), temos:
(aqui
e
aparecem nos coeficientes).
-
A igualdade do momento
dá: Isolando: LogoEsta é a expressão útil: para cadacalcula-se e obtém-se pela expressão acima (lado do salto). -
A condição de escoamento uniforme (Manning) relaciona
e : come (pois ). -
Plano de solução numérica: fazer uma busca iterativa em
até que o dado pela equação do salto coincida com o dado por Manning. Vou executar essa iteração com cálculo manual aproximado (mostrando as contas principais).
Passo 6
Iteração numérica (calcular
e
). Faço algumas avaliações até convergir:
Recordando:
,
,
,
,
.
Vou realizar cálculos para um palpite de
, calcular
pela equação do salto e
pela Manning; ajusto
até igualdade.
Teste
(este palpite foi obtido por tentativa/erro; demonstro as contas essenciais):
-
Calcular
: -
Numerador do centróide:Então
-
Termo do salto (lado direito):
-
Fator
: -
Logo
pelo salto: e portanto -
Agora
por Manning para : - Perímetro molhado:
- Raio hidráulico:
-
. - Então
Calcule . Então
- Perímetro molhado:
-
Comparação:
e . As duas estimativas estão muito próximas; com pequena interpolação final encontro convergência em torno de (A diferença nas etapas de arredondamento é pequena; o resultado final écerca de e profundidade normal .)
Passo 7
Interpretação física dos resultados e cálculo final da altura imediatamente a montante do degrau:
-
Temos determinado:
-
Agora a altura imediatamente a montante do degrau (pergunta c)). O enunciado diz que o degrau provocou “um remanso de elevação a montante” e que "a altura da água em cima do degrau é
". Ao interpretar “em cima do degrau” como lâmina sobre o topo do degrau, concluímos que a lâmina sobre o topo é e que o topo do degrau está a acima do fundo; portanto a profundidade do escoamento medido a partir do fundo, imediata à face do degrau (ou seja, a lâmina na seção imediatamente a montante do degrau), é simplesmente Observação sobre coerência: esse valoré a profundidade no trecho estreito sobre o degrau; aguas mais a montante, em região de remanso prolongado (trecho lento cujas dimensões são grandes) podem apresentar lâmina maior (por exemplo próxima da profundidade normal ), mas a pergunta (c) pede “altura d’água imediatamente a montante do degrau”, isto é, a lâmina exatamente sobre/à frente do topo do degrau, que é a soma indicada. Portanto tomo (Se na prova interpretarem “altura em cima do degrau” como profundidade medida a partir do fundo igualmente, então essa mesma resposta corresponde à profundidade sobre o degrau e a montante imediata. O importante é explicitar que somei o degrau decom os informados.)
Passo 8
Resumo final e resposta da alínea (d): outros materiais para a construção do canal
- Materiais possíveis (cada item com uma linha e curta justificativa de uso):
- Concreto revestido (concreto usinado/bom acabamento): durável, baixa rugosidade (pequeno
), usado quando se busca reduzir perda de carga e erosão. - Blocos de alvenaria ou pedra assentada (maciça): resistente e tradicional, bom contra erosão; rugosidade intermediária.
- Revestimento com argamassa de cimento (melhor executada que a do enunciado): se bem aplicado dá bom acabamento; valor de
moderado. - Revestimento com asfalto ou betume (geomembrana sobre camada estrutural): uso quando se pretende impermeabilizar e reduzir infiltração; bom acabamento hidráulico.
- Geossintéticos + camada de concreto magro / rip-rap: geotêxteis sob brita para proteção de taludes e controle de erosão, rip-rap para dissipação de energia.
- Revestimento com blocos de concreto intertravados ou gabiões de pedra: úteis onde há necessidade de controlar velocidade e evitar erosão do leito.
- Canal em terra compactada com revestimento vegetal e proteção de taludes (para pequenos fluxos): opção econômica mas com maior rugosidade e manutenção.
- Concreto revestido (concreto usinado/bom acabamento): durável, baixa rugosidade (pequeno
(Para a prova, bastaria citar as opções com uma linha de justificativa como acima.)
Resposta
a)
b)
c)
d) Concreto (revestimento de bom acabamento), alvenaria/pedra assentada, asfalto/geomembrana, rip-rap/grade de brita com geossintético, gabiões, ou canal em terra compactada com proteção de taludes.
b)
c)
d) Concreto (revestimento de bom acabamento), alvenaria/pedra assentada, asfalto/geomembrana, rip-rap/grade de brita com geossintético, gabiões, ou canal em terra compactada com proteção de taludes.