(PORTO, 2006, adaptado de 11.7) Em um longo canal trapezoidal com 1 metro de largura de fundo, taludes 2 \mathrm{H}: 1 \mathrm{~V}, feito de argamassa de cimento em más condições, declividade de fundo de 0,0015 \mathrm{~m} / \mathrm{m}, foi colocado um vertedor de parede espessa de 0,25 \mathrm{~m} de altura, provocando o aparecimento de um ressalto a sua jusante e um remanso de elevação a montante. A altura da água em cima do degrau é 0,65 metro. Determinar:
a) Vazão;
b) Altura d’água no canal antes da colocação do degrau;
c) Altura d’água imediatamente a montante do degrau;
d) Quais os outros materiais que poderiam ter sido utilizados na construção do canal?

Passo 1

Vou resumir com calma o que o enunciado dá e o que ele pede (tudo bem explicado, sem resolver ainda):
  • Dados do canal: \text{largura do fundo } b=1{,}0\\ \text{m},
\text{talude lateral } 2\mathrm{H}:1\mathrm{V}\\ \Rightarrow\\ m=2\\ \text{(horizontal por unidade vertical)},
\text{declividade do fundo } S_0=0{,}0015.
  • Foi colocado um vertedor (um degrau) de altura 0{,}25\\ \text{m}. O enunciado fala que apareceu um ressalto (ressalto hidráulico) a jusante e um remanso de elevação a montante — portanto o escoamento fica supercrítico na lâmina que passa sobre o degrau e depois ocorre um ressalto (salto hidráulico) mais adiante; a montante forma-se um remanso (elevação da lâmina).
  • O enunciado afirma: "A altura da água em cima do degrau é 0{,}65\\ \text{m}". Interpretação adotada (explico por que): isso costuma significar a lâmina sobre o topo do degrau (a lâmina “sobre” o degrau, medida acima da face superior do degrau). Como o topo do degrau fica 0{,}25\\ \text{m} acima do fundo do canal, a profundidade da água imediatamente depois do degrau (medida a partir do fundo do canal) é
    y_1 = 0{,}25 + 0{,}65 = 0{,}90\\ \text{m}.
    Essa é a lâmina na parte supercrítica logo após atravessar o degrau (antes do ressalto). Eu uso essa interpretação porque é a que mantém coerência entre a presença do degrau (cujas dimensões se medem em relação ao fundo) e a expressão “em cima do degrau” para a lâmina.
  • O que o enunciado pede:
    a) a vazão Q;
    b) a altura d’água no canal antes da colocação do degrau (isto é, a profundidade normal y_n correspondente ao escoamento uniforme para a mesma vazão e declividade S_0);
    c) a altura d’água imediatamente a montante do degrau (a lâmina imediatamente antes do degrau, devido ao remanso);
    d) listar outros materiais que poderiam ser usados na construção do canal.
  • Informações adicionais necessárias e hipóteses:
    • Precisamos usar uma equação de salto hidráulico (conservação do momento linear) para relacionar a profundidade supercrítica logo após o degrau y_1 e a profundidade subcrítica correspondente a jusante/normal y_2. No problema prático, o salto ocorrido a jusante estabelece uma profundidade subcrítica que, em canal muito longo, tende ao valor da profundidade normal y_n (escoamento uniforme em trecho longo). Portanto usaremos a relação de conservação do momento entre a seção supercrítica logo após o degrau (índice 1) e a seção subcrítica a jusante (índice 2), que aqui será identificada com a profundidade normal y_n.
    • Para ligar y_n à vazão Q usamos a fórmula de Manning (é a fórmula usual para escoamento em canais abertos rústicos), que pede um coeficiente de rugosidade n. O enunciado diz que o canal é feito de “argamassa de cimento em más condições” → isso implica rugosidade relativamente alta. Adoto o valor típico n = 0{,}020,justificando que argamassa de cimento em más condições é mais rugosa que concreto bom (0,012–0,015) e tabelas usuais indicam valores na faixa 0{,}018 0{,}025; escolhi 0{,}020 como valor representativo (se você souber outro valor a usar na prova, basta substituir e recalcular).
    • A resolução vai requerer cálculo de área da seção, perímetro molhado e raio hidráulico para a seção trapezoidal, e a expressão da função momento (função de momento ou “força específica”) usada no salto hidráulico: M=\frac{Q^{2}}{gA}+A\bar{y},onde A é a área da seção e \bar{y} é a altura do centróide da área em relação ao fundo (explico no passo seguinte como calcular).
    • Valores numéricos: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
A partir daqui, começo a resolver passo a passo, mostrando as fórmulas, como obter cada termo e fazendo as contas detalhadas.

Passo 2

Representações geométricas e fórmulas básicas para a seção trapezoidal (tudo explicadinho):
  • Para uma lâmina y (medida do fundo verticalmente até a superfície livre), a área da seção transversal do canal trapezoidal com fundo b e talude m (horizontal por vertical) é
    A(y)=b\,y + m\,y^{2}.
    Explicação: o retângulo central tem área b\cdot y. Cada uma das duas faixas laterais é um triângulo de base horizontal m y e altura vertical y, área \tfrac{1}{2} m y\cdot y=\tfrac{1}{2} m y^{2}; somando as duas dá m y^{2}.
  • A largura no topo (largura superficial) é
    T(y)=b + 2 m y.
  • O perímetro molhado é
    P(y)=b + 2\sqrt{1+m^{2}}\,y,
    porque cada lado inclinado tem comprimento \sqrt{(m y)^{2}+y^{2}}=\sqrt{1+m^{2}}\,y.
  • O raio hidráulico é R=A/P.
  • O centróide vertical da área (a distância do fundo até o baricentro da área) é
    \bar{y}(y)=\frac{\displaystyle \frac{b y^{2}}{2} + 2\cdot\int_{0}^{y} z\cdot m z\,dz}{A(y)} =\frac{\displaystyle \frac{b y^{2}}{2} + \frac{2 m y^{3}}{3}}{A(y)}.
    Explicação rápida: primeiro momento do retângulo (área b y) é b y \cdot (y/2)=\tfrac{b y^{2}}{2}. Para cada triângulo lateral, é mais direto integrar: a largura local a altura z é m z, então a contribuição do primeiro momento é \int_0^{y} z\cdot m z\,dz = m y^{3}/3. Como há duas laterais, soma-se 2 m y^{3}/3.
  • A função momento (ou força específica) em uma seção é
    M(y)=\frac{Q^{2}}{g\,A(y)} + A(y)\,\bar{y}(y),
    e a conservação do momento entre duas seções (1 antes do salto supercrítico e 2 após o salto subcrítico) dá M_1=M_2. Como temos as mesmas formas de seção (prismáticas) o método é aplicável diretamente.

Passo 3

Identificação das seções e dos valores conhecidos:
  • Seção 1: logo após o degrau, onde o escoamento é supercrítico antes do ressalto. A lâmina medida desde o fundo do canal (como adotado no Passo 1) é
    \boxed{y_1 = 0{,}90\\ \text{m}}
    (soma do degrau 0{,}25 com a lâmina sobre o degrau 0{,}65; essa é a profundidade do fluxo na seção 1, medida a partir do fundo do canal).
  • Seção 2: trecho subcrítico a jusante, depois do ressalto; em um canal longo, o trecho a montante e jusante tende à profundidade normal y_n associada ao escoamento uniforme. Aqui identificamos a profundidade subcrítica após o ressalto com a profundidade normal do canal antes de colocarmos o degrau:
    y_2 \equiv y_n \quad\text{(incógnita)}.ó
  • Nossa incógnita primária será Q. As incógnitas auxiliares: y_2 (profundidade normal) e eventualmente a profundidade exatamente a montante do degrau (resposta c) que vou comentar depois).
Resumo do que usaremos:
  • Equação do salto (conservação do momento) entre as seções 1 e 2: M_1=M_2 → dá uma relação entre Q e y_2.
  • Equação de escoamento uniforme (Manning) para profundidade normal y_2 e declive S_0: Q = \dfrac{1}{n} A(y_2) R(y_2)^{2/3}\sqrt{S_0}. Isso dá outra relação entre Q e y_2.
  • Resolveremos o sistema (numérico) para obter y_2 e Q.

Passo 4

Cálculo dos termos na seção 1 (tudo passo a passo):
Dados: b=1, m=2, y_1=0{,}90\\ \text{m}.
  • Área na seção 1:
    A_1 = b y_1 + m y_1^{2} = 1\cdot 0{,}90 + 2\cdot(0{,}90)^{2}.
    Calcule:
    (0{,}90)^{2}=0{,}81,\quad 2\cdot0{,}81=1{,}62,
    logo
    A_1 = 0{,}90 + 1{,}62 = 2{,}52\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Primeiro momento / numerador do centróide:
    \frac{b y_1^{2}}{2} + \frac{2 m y_1^{3}}{3} = \frac{1\cdot 0{,}81}{2} + \frac{2\cdot 2\cdot (0{,}90)^{3}}{3}.
    Calcule (0{,}90)^{3}=0{,}729. Então
    \frac{0{,}81}{2}=0{,}405,\quad \frac{2\cdot2\cdot 0{,}729}{3}=\frac{4\cdot 0{,}729}{3}= \frac{2{,}916}{3}=0{,}972.
    Soma = 0{,}405 + 0{,}972 = 1{,}377.
  • Centróide:
    \bar{y}_1 = \frac{1{,}377}{A_1} = \frac{1{,}377}{2{,}52} \approx 0{,}5464\\ \text{m}.
  • Portanto a função momento M_1 (em termos de Q) é
    M_1 = \frac{Q^{2}}{g A_1} + A_1 \bar{y}_1 =\frac{Q^{2}}{9{,}81\cdot 2{,}52} + 2{,}52\cdot 0{,}5464.
    O segundo termo é numérico:
    2{,}52\cdot 0{,}5464 \approx 1{,}376\\ \text{(m}^{3}\text{)}.
    Anotamos M_1 para usar na igualdade M_1=M_2.

Passo 5

Expressões gerais e preparação para resolver (seção 2 em função de y_2):
  • Para uma profundidade genérica y_2 (ainda incógnita), temos: A_2 = y_2 + 2 y_2^{2},
\bar{y}_2 = \frac{\dfrac{y_2^{2}}{2} + \dfrac{4 y_2^{3}}{3}}{A_2}.
(aqui b=1 e 2m=4 aparecem nos coeficientes).
  • A igualdade do momento M_1=M_2 dá:
    \frac{Q^{2}}{g A_1} + A_1\bar{y}_1 = \frac{Q^{2}}{g A_2} + A_2 \bar{y}_2.
    Isolando Q^{2}:
    Q^{2}\left(\frac{1}{gA_1} - \frac{1}{gA_2}\right) = A_2\bar{y}_2 - A_1\bar{y}_1.
    Logo
    Q^{2} = g \,\frac{A_1 A_2}{A_2 - A_1}\,\left(A_2\bar{y}_2 - A_1\bar{y}_1\right).
    Esta é a expressão útil: para cada y_2 calcula-se A_2,\bar{y}_2 e obtém-se Q pela expressão acima (lado do salto).
  • A condição de escoamento uniforme (Manning) relaciona Q e y_2:
    Q = \frac{1}{n}\,A_2\,R_2^{2/3}\,\sqrt{S_0},
    com R_2=A_2/P_2 e P_2 = 1 + 2\sqrt{1+m^{2}}\,y_2 = 1 + 2\sqrt{5}\,y_2 (pois m=2,\\ \sqrt{1+m^{2}}=\sqrt{5}\approx 2{,}23607).
  • Plano de solução numérica: fazer uma busca iterativa em y_2 até que o Q dado pela equação do salto coincida com o Q dado por Manning. Vou executar essa iteração com cálculo manual aproximado (mostrando as contas principais).

Passo 6

Iteração numérica (calcular y_2 e Q). Faço algumas avaliações até convergir:
Recordando: A_1=2{,}52, \bar{y}_1\approx 0{,}5464, g=9{,}81, S_0=0{,}0015, n=0{,}020.
Vou realizar cálculos para um palpite de y_2, calcular Q pela equação do salto e Q pela Manning; ajusto y_2 até igualdade.
Teste y_2=1{,}98\\ \text{m} (este palpite foi obtido por tentativa/erro; demonstro as contas essenciais):
  • Calcular A_2:
    A_2 = 1{,}98 + 2(1{,}98)^{2} = 1{,}98 + 2\cdot 3{,}9204 = 1{,}98 + 7{,}8408 = 9{,}8208\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Numerador do centróide:
    \frac{y_2^{2}}{2} + \frac{4 y_2^{3}}{3} = \frac{3{,}9204}{2} + \frac{4\cdot 7{,}762392}{3} = 1{,}9602 + \frac{31{,}049568}{3} = 1{,}9602 + 10{,}3499 \approx 12{,}3101.
    Então
    \bar{y}_2 = \frac{12{,}3101}{9{,}8208}\approx 1{,}2539\\ \text{m}.
  • Termo do salto (lado direito):
    A_2\bar{y}_2 - A_1\bar{y}_1 = 9{,}8208\cdot 1{,}2539 - 2{,}52\cdot 0{,}5464 \approx 12{,}312 - 1{,}376 = 10{,}936.
  • Fator \dfrac{A_1 A_2}{A_2 - A_1}:
    \frac{2{,}52\cdot 9{,}8208}{9{,}8208 - 2{,}52} = \frac{24{,}7549}{7{,}3008}\approx 3{,}392.
  • Logo Q^{2} pelo salto:
    Q^{2} = 9{,}81\cdot 3{,}392\cdot 10{,}936 \approx 9{,}81\cdot 37{,}09 \approx 363{,}9,
    e portanto
    Q_{\text{salto}} = \sqrt{363{,}9} \approx 19{,}09\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Agora Q por Manning para y_2=1{,}98:
    • Perímetro molhado: P_2 = 1 + 2\sqrt{5}\,y_2 \approx 1 + 4{,}47214\cdot 1{,}98 \approx 1 + 8{,}8596 = 9{,}8596.
    • Raio hidráulico: R_2 = \frac{A_2}{P_2} = \frac{9{,}8208}{9{,}8596}\approx 0{,}9961\\ \text{m}.
    • R_2^{2/3}\approx 0{,}9974.
    • Então Q_{\text{Manning}} = \frac{1}{0{,}020}\cdot 9{,}8208\cdot 0{,}9974\cdot\sqrt{0{,}0015}.Calcule \sqrt{0{,}0015}\approx 0{,}0387298. Então Q_{\text{Manning}} \approx 50\cdot 9{,}8208\cdot 0{,}9974\cdot 0{,}03873 \approx 50\cdot 0{,}3792 \approx 18{,}96\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Comparação: Q_{\text{salto}}\approx 19{,}09 e Q_{\text{Manning}}\approx 18{,}96. As duas estimativas estão muito próximas; com pequena interpolação final encontro convergência em torno de
    Q \approx 19{,}0\\ \mathrm{m^{3}/s},\qquad y_2 \approx 1{,}98\\ \text{m}.
    (A diferença nas etapas de arredondamento é pequena; o resultado final é Q cerca de 19{,}0\\ \mathrm{m^{3}/s} e profundidade normal y_n\approx 1{,}98\\ \mathrm{m}.)

Passo 7

Interpretação física dos resultados e cálculo final da altura imediatamente a montante do degrau:
  • Temos determinado:
    \boxed{Q\approx 19{,}0\\ \mathrm{m^{3}/s}},\qquad \boxed{y_n\approx 1{,}98\\ \mathrm{m}}.
  • Agora a altura imediatamente a montante do degrau (pergunta c)). O enunciado diz que o degrau provocou “um remanso de elevação a montante” e que "a altura da água em cima do degrau é 0{,}65\\ \text{m}". Ao interpretar “em cima do degrau” como lâmina sobre o topo do degrau, concluímos que a lâmina sobre o topo é 0{,}65\\ \text{m} e que o topo do degrau está a 0{,}25\\ \text{m} acima do fundo; portanto a profundidade do escoamento medido a partir do fundo, imediata à face do degrau (ou seja, a lâmina na seção imediatamente a montante do degrau), é simplesmente
    y_{\text{montante}} = 0{,}25 + 0{,}65 = 0{,}90\\ \mathrm{m}.
    Observação sobre coerência: esse valor 0{,}90\\ \text{m} é a profundidade no trecho estreito sobre o degrau; aguas mais a montante, em região de remanso prolongado (trecho lento cujas dimensões são grandes) podem apresentar lâmina maior (por exemplo próxima da profundidade normal y_n), mas a pergunta (c) pede “altura d’água imediatamente a montante do degrau”, isto é, a lâmina exatamente sobre/à frente do topo do degrau, que é a soma indicada. Portanto tomo
    \boxed{y_{\text{imediatamente montante}} = 0{,}90\\ \mathrm{m}}.
    (Se na prova interpretarem “altura em cima do degrau” como profundidade medida a partir do fundo igualmente, então essa mesma resposta corresponde à profundidade sobre o degrau e a montante imediata. O importante é explicitar que somei o degrau de 0{,}25 com os 0{,}65 informados.)

Passo 8

Resumo final e resposta da alínea (d): outros materiais para a construção do canal
  • Materiais possíveis (cada item com uma linha e curta justificativa de uso):
    • Concreto revestido (concreto usinado/bom acabamento): durável, baixa rugosidade (pequeno n), usado quando se busca reduzir perda de carga e erosão.
    • Blocos de alvenaria ou pedra assentada (maciça): resistente e tradicional, bom contra erosão; rugosidade intermediária.
    • Revestimento com argamassa de cimento (melhor executada que a do enunciado): se bem aplicado dá bom acabamento; valor de n moderado.
    • Revestimento com asfalto ou betume (geomembrana sobre camada estrutural): uso quando se pretende impermeabilizar e reduzir infiltração; bom acabamento hidráulico.
    • Geossintéticos + camada de concreto magro / rip-rap: geotêxteis sob brita para proteção de taludes e controle de erosão, rip-rap para dissipação de energia.
    • Revestimento com blocos de concreto intertravados ou gabiões de pedra: úteis onde há necessidade de controlar velocidade e evitar erosão do leito.
    • Canal em terra compactada com revestimento vegetal e proteção de taludes (para pequenos fluxos): opção econômica mas com maior rugosidade e manutenção.
(Para a prova, bastaria citar as opções com uma linha de justificativa como acima.)

Resposta

a) Q\approx 19{,}0\\ \mathrm{m^{3}/s}
b) y_n\approx 1{,}98\\ \mathrm{m}
c) y_{\text{imediatamente montante}}=0{,}90\\ \mathrm{m}
d) Concreto (revestimento de bom acabamento), alvenaria/pedra assentada, asfalto/geomembrana, rip-rap/grade de brita com geossintético, gabiões, ou canal em terra compactada com proteção de taludes.

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