(PORTO, 2006, adaptado de 13.5) Em um canal retangular, bastante longo, com declividade de fundo de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{km}, \mathrm{n}=0,015 e largura de 3 metros, existe uma comporta plana vertical da mesma largura, cuja carga a montante é \mathrm{H}=1,8 \mathrm{~m} e abertura no fundo \mathrm{b}=0,30 \mathrm{~m}. Com um afastamento o suficiente da comporta, foi instalado um vertedor regular de parede fina com duas contrações laterais, com largura de soleira L =2,80 metros e altura p=0,40 metro. Verifique:
a) A possibilidade de ocorrência de um ressalto hidráulico;
b) Caso ocorra, as alturas conjugadas e o perfil d’água entre a comporta e o vertedor (tipo de curva - M1, M2, M3, S1, etc.), indicando os tipos de curva de remanso que ocorrem entre os níveis normal e crítico;
c) Altura d’água imediatamente a montante do vertedor;
d) Quais os tipos de materiais que poderiam ser usados no canal.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede verificações. Dados (vou listar tudo que importa):
\begin{aligned} &\text{Declividade do fundo: }S_0=2\\ \text{m/km}=0{,}002,\\\ &\text{Manning: }n=0{,}015,\\\ &\text{largura do canal: }B=3{,}00\\ \text{m},\\\ &\text{comporta vertical (mesma largura) com carga a montante }H=1{,}8\\ \text{m},\\\ &\text{abertura da comporta (no fundo): }b=0{,}30\\ \text{m},\\\ &\text{vertedor de parede fina (com contrações laterais) com largura de soleira }L=2{,}80\\ \text{m},\\\ &\text{altura do vertedor (do fundo até a crista): }p=0{,}40\\ \text{m},\\\ &g=9{,}81\\ \text{m/s}^2\\ (\text{assumo}).\\\ \end{aligned}çõé
O que o enunciado pede:
a) Verificar se pode ocorrer ressalto hidráulico (salto);
b) Se ocorrer, calcular as alturas conjugadas e descrever o perfil d’água entre comporta e vertedor (classificação M1/M2/M3, S1…, e quais curvas de remanso ocorrem entre níveis normal e crítico);
c) Altura d’água imediatamente a montante do vertedor (profundidade sobre o fundo nesse ponto);
d) Sugerir tipos de materiais para o canal (compatível com o valor de n).

Passo 2

Vamos primeiro calcular a vazão que passa pela comporta. A comporta tem uma abertura vertical de altura b e largura igual à do canal B. Para um orifício vertical formado por uma abertura de altura b sob uma lâmina livre a montante de altura H (assumindo escoamento ideal sem coeficiente de descarga adicional), a vazão pode ser obtida integrando a velocidade ao longo da altura da abertura. A fórmula resultante é
Q=\dfrac{2}{3}\,B\,\sqrt{2g}\left[H^{3/2}-(H-b)^{3/2}\right].
Breve explicação didática: a velocidade no nível vertical y dentro da abertura (medida a partir do fundo) é v(y)=\sqrt{2g(H-y)}. Integrando a velocidade sobre a altura 0\le y\le b e multiplicando pela largura B dá a fórmula acima. Essa fórmula assume escoamento não contrai significativamente e despreza coeficiente empírico — é a expressão teórica de integração de Bernoulli vertical.
Agora substituo valores:
\begin{aligned} \sqrt{2g}&=\sqrt{2\cdot 9{,}81}=4{,}429\\ \text{m}^{1/2}\!/s,\\\ H^{3/2}&=1{,}8^{3/2}=1{,}8\sqrt{1{,}8}=1{,}8\cdot 1{,}34164\approx 2{,}41495,\\\ (H-b)^{3/2}&=1{,}5^{3/2}=1{,}5\sqrt{1{,}5}=1{,}5\cdot 1{,}224745\approx 1{,}83712,\\\ H^{3/2}-(H-b)^{3/2}&\approx 0{,}57783. \end{aligned}
Logo
Q=\dfrac{2}{3}\cdot 3{,}00\cdot 4{,}429\cdot 0{,}57783 \approx 5{,}12\\ \text{m}^3\!/s.
Portanto a vazão de projeto é \;Q\approx 5{,}12\\ \text{m}^3\!/s.

Passo 3

Calculo da profundidade crítica na seção do vertedor. Para canal retangular de largura B_{\text{ef}} a profundidade crítica \,y_c satisfaz
\dfrac{Q^2}{g}=B_{\text{ef}}^2\,y_c^3,
logo
y_c=\left(\dfrac{Q^2}{g\,B_{\text{ef}}^2}\right)^{1/3}.
No ponto do vertedor a largura útil é B_{\text{ef}}=L=2{,}80\\ \text{m} (há contrações laterais, por isso uso L). Substituindo:
\begin{aligned} Q^2&=5{,}118^2\approx 26{,}20,\\\ g\,L^2&=9{,}81\cdot (2{,}80)^2=9{,}81\cdot 7{,}84\approx 76{,}91,\\\ \dfrac{Q^2}{gL^2}&\approx 0{,}3406,\\\ y_{c,\text{vert}}&\approx 0{,}3406^{1/3}\approx 0{,}699\\ \text{m}. \end{aligned}
Então a profundidade crítica na garganta do vertedor é \;y_{c,\text{vert}}\approx 0{,}699\\ \text{m}.

Passo 4

Calcular a profundidade normal do canal y_n (aquela associada ao escoamento uniforme em declividade S_0 com Manning). A fórmula de Manning é
Q=\dfrac{1}{n}A\,R^{2/3}\,S_0^{1/2},
onde para seção retangular A=B\,y e o raio hidráulico R=\dfrac{B\,y}{B+2y}. Vou resolver numericamente para y (procura-se y_n tal que a equação seja satisfeita).
Primeiro simplifico fatores conhecidos:
\dfrac{1}{n}\sqrt{S_0}=\dfrac{1}{0{,}015}\sqrt{0{,}002}=66{,}6667\cdot 0{,}044721\approx 2{,}9814.
Portanto
Q=2{,}9814\cdot A\,R^{2/3}.
Faço uma tentativa iterativa (mostro o raciocínio curto): testando y=0{,}85 m obtém-se A\,R^{2/3}\approx 1{,}696 e para y=0{,}865 m obtém-se A\,R^{2/3}\approx 1{,}739. Sabendo que precisamos de A\,R^{2/3}=Q/2{,}9814\approx 1{,}717, interpolo e encontro
y_n\approx 0{,}866\\ \text{m}.
Resumo: profundidade normal y_n\approx 0{,}866\\ \text{m}.
Observação física: y_n>y_{c,\text{vert}} ( 0{,}866>0{,}699 ), o que indica que a soleira do vertedor está numa condição típica de declividade “suave” (mild slope): o escoamento em regime uniforme seria subcrítico.

Passo 5

Verificar se o escoamento sob a comporta é supercrítico (isto é, condição necessária para haver ressalto a montante). A seção sob a comporta tem área
A_{\text{comp}}=B\cdot b=3{,}00\cdot 0{,}30=0{,}90\\ \text{m}^2.
Velocidade média nessa seção
V=\dfrac{Q}{A_{\text{comp}}}=\dfrac{5{,}118}{0{,}90}\approx 5{,}687\\ \text{m/s}.
Froude local (para seção retangular) é
Fr=\dfrac{V}{\sqrt{g\,y}} \quad\text{com }y=b=0{,}30\\ \text{m}.
Calculo:
\sqrt{g\,y}=\sqrt{9{,}81\cdot 0{,}30}\approx 1{,}715\\ \text{m/s},
Fr\approx \dfrac{5{,}687}{1{,}715}\approx 3{,}32.
Como Fr\gg 1, o escoamento logo a jusante da comporta é fortemente supercrítico. Isso confirma que existe condição de escoamento supercrítico à montante do possível ressalto.

Passo 6

Condição para ocorrência de ressalto: é necessária uma seção a montante supercrítica e a jusante uma seção subcrítica que “receba” o escoamento. Aqui temos:
  • Montante: após a comporta y_1=b=0{,}30\\ \text{m}, Fr>1 (supercrítico).
  • Jusante (próximo ao vertedor): a profundidade na aproximação do vertedor (se ocorrer remanso) tende a ser subcrítica (por causa do vertedor: a profundidade imediatamente a montante do vertedor, que é p+y_{c,\text{vert}}, será maior que y_c). Além disso y_n=0{,}866\\ \text{m} (normal) é também subcrítico.
    Portanto é possível um ressalto hidráulico entre a comporta e o vertedor (especialmente porque o enunciado diz que o vertedor está a uma distância suficiente para que as transições se estabeleçam).

Passo 7

Calcular as alturas conjugadas do ressalto (profundidade antes e depois do salto). A profundidade antes do salto é a profundidade supercrítica logo a jusante da comporta:
y_1=b=0{,}30\\ \text{m}.
Para canal retangular a conjugada y_2 (profundidade após o salto) em função de y_1 é dada por
y_2=-\dfrac{y_1}{2}+\sqrt{\dfrac{y_1^2}{4}+\dfrac{q^2}{g}},
onde q é a descarga por unidade de largura (usarei a largura do canal antes da contração, B=3{,}00\\ \text{m}, porque o ressalto ocorre no trecho não constrangido pela soleira). Aqui
q=\dfrac{Q}{B}=\dfrac{5{,}118}{3{,}00}\approx 1{,}706\\ \text{m}^2\!/s.
Calculo numérico:
\dfrac{q^2}{g}=\dfrac{1{,}706^2}{9{,}81}\approx 0{,}2969,
\sqrt{\dfrac{y_1^2}{4}+\dfrac{q^2}{g}}=\sqrt{\dfrac{0{,}3^2}{4}+0{,}2969}=\sqrt{0{,}0225+0{,}2969}\approx 0{,}5652,
y_2\approx -0{,}15+0{,}5652\approx 0{,}415\\ \text{m}.
Portanto as profundidades conjugadas são \;y_1=0{,}30\\ \text{m} e \;y_2\approx 0{,}415\\ \text{m}.
Interpretação física: o salto transforma o jato supercrítico de 0{,}30\\ \text{m} em um escoamento subcrítico de 0{,}415\\ \text{m} (a partir daí o escoamento varia lentamente até encontrar a condição imposta pelo vertedor).

Passo 8

Agora descrevo o perfil d’água entre a comporta e o vertedor, usando a classificação de curvas (M1, M2, M3 para declividade suave). Primeiro lembro as definições (forma curta e intuitiva):
  • Declividade é “suave” (mild) se y_n>y_c. Aqui y_n\approx 0{,}866\\ \text{m} e y_{c,\text{canal}} (para B=3{,}00) é aproximadamente 0{,}663\\ \text{m} (cálculo: y_{c,3m}=(Q^2/(g\cdot 3^2))^{1/3}\approx 0{,}663\\ \text{m}), logo é declividade suave.
  • Em declividade suave temos três famílias: M1 (níveis acima do normal), M2 (níveis entre y_n e y_c), M3 (níveis abaixo do crítico y_c). M2 curva decresce downstream em direção ao crítico; M3 cresce downstream em direção ao crítico; M1 decresce muito lentamente para y_n.
Aplicando ao caso concreto (ordem espacial: comporta → trecho → vertedor):
  1. Logo a jusante da comporta o escoamento é supercrítico com profundidade y_1=0{,}30\\ \text{m}.
  2. O ressalto ocorre a montante do trecho final e produz a profundidade conjugada y_2\approx 0{,}415\\ \text{m}. Essa profundidade pós-ressalto é menor que a profundidade crítica y_c (0{,}415 < 0{,}699), portanto o trecho entre o ressalto e o vertedor está em regime subcrítico relativo ao crítico local? Atenção: como y_2<y_c significa que estamos abaixo do crítico — isso corresponde à família M3 (a partir de y_2 a profundidade aumenta gradualmente até atingir y_c).
  3. Assim, o perfil entre o ressalto e o vertedor é uma curva do tipo M3 (a profundidade cresce lentamente em direção ao ponto crítico na crista do vertedor).
  4. Se fôssemos observar a região a montante da comporta (do lado do reservatório), o nível H=1{,}8\\ \text{m} é bem acima do normal y_n, então ali caracteriza-se uma curva M1 (nível acima de y_n), mas esse detalhe é a montante imediato e não interfere no trecho entre comporta e vertedor por causa do escoamento controlado pela abertura.
  5. Entre os níveis normal e crítico (isto é, para profundidades entre y_n e y_c) a curva típica é do tipo M2 (isso é a classificação padrão: M2 corresponde a y_c<y<y_n). No nosso arranjo, se o escoamento passar por um trecho com profundidade nessa faixa, esse trecho seria M2. No entanto, no trecho imediato entre ressalto e vertedor o que ocorre é M3 (porque y_2<y_c e a profundidade cresce até y_c no vertedor).
Resumo qualitativo do trecho entre comporta e vertedor:
  • Logo após a comporta: escoamento supercrítico ( y_1=0{,}30\\ \text{m}).
  • Ocorre um ressalto hidráulico (sim).
  • Após o ressalto: profundidade y_2\approx 0{,}415\\ \text{m} e perfil do tipo M3 aumentando lentamente até a profundidade crítica no vertedor.
  • No vertedor a seção torna-se crítica (profundidade crítica local \approx 0{,}699\\ \text{m} sobre a soleira) e sobre a crista a profundidade absoluta é maior devido à altura da crista (veja passo seguinte).

Passo 9

Altura d’água imediatamente a montante do vertedor (profundidade medida a partir do fundo do canal até a superfície, no trecho logo antes da crista). Para um vertedor de crista fina o escoamento na crista é crítico; a profundidade crítica sobre a crista (na garganta) é y_{c,\text{vert}}\approx 0{,}699\\ \text{m} (calculada no Passo 3). Como a crista está a uma altura p=0{,}40\\ \text{m} acima do fundo, a profundidade absoluta imediatamente a montante da crista é
y_{\text{mont. vertedor}}=p+y_{c,\text{vert}}=0{,}40+0{,}699\approx 1{,}099\\ \text{m}.
Portanto a lâmina d’água imediatamente a montante do vertedor mede aproximadamente 1{,}10\\ \text{m} (a partir do fundo do canal).

Passo 10

Tipos de materiais recomendáveis para o canal (considerando o coeficiente de rugosidade n=0{,}015 fornecido):
  • n\approx 0{,}015 corresponde tipicamente a acabamento suave: concreto moldado com superfície boa, revestimento cimentado, ou alvenaria bem assentada. Exemplos práticos: concreto projetado, concreto armado com bom acabamento, blocos de concreto bem assentados, alvenaria de pedra bem encaixada e com junta lisa.
  • Outros materiais possíveis (com seus n típicos, para comparação): terra não revestida (n≈0{,}02–0{,}03), canal revestido com matacões/rocaria (n≈0{,}025–0{,}04), revestimento com geomembrana ou asfalto (n≈0{,}012–0{,}016).
    Conclusão: para obter n=0{,}015 escolha um revestimento rígido e liso — por exemplo concreto (lançado ou protendido) com junta de contracção bem tratada ou alvenaria hidráulica bem acabada.

Resposta

(a) Sim. O escoamento sob a comporta é supercrítico ( Fr\approx 3{,}32) e a condição a montante do vertedor é subcrítica, logo é possível ocorrência de ressalto hidráulico.
(b) Alturas conjugadas: y_1=0{,}30\\ \text{m} e y_2\approx 0{,}415\\ \text{m}. Perfil d’água entre comporta e vertedor: logo após a comporta escoamento supercrítico; ocorre ressalto gerando y_2; entre o ressalto e o vertedor desenvolve-se uma curva M3 (profundidade cresce gradualmente até a profundidade crítica do vertedor). Entre os níveis normal e crítico em geral a curva é do tipo M2 (no caso concreto a transição observada entre y_2 e y_{c} é M3, enquanto trechos com y_c<y<y_n seriam M2).
(c) Altura d’água imediatamente a montante do vertedor: y_{\text{mont}}=p+y_{c,\text{vert}}\approx 0{,}40+0{,}699\approx 1{,}099\\ \text{m}.
(d) Materiais adequados (compatíveis com n\approx 0{,}015): concreto com bom acabamento (concreto armado ou pré-moldado), alvenaria hidráulica bem acabada, ou revestimento rígido e liso; alternativas menos lisas (terra, matacões, gabions) teriam n maiores e não dariam 0{,}015.

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