1- A posição de uma partícula que se move no plano xy é dada por: \vec{r}=\left(2 t^{3}-5 t\right) \hat{\imath}+ \left(6-t^{4}\right) \hat{j}[S I]. Calcule os vetores r , v e a para o instante 2 s .

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula que se move no plano xy como
\vec{r}(t)=\left(2t^{3}-5t\right)\hat{\imath}+\left(6-t^{4}\right)\hat{\jmath}\quad[\text{SI}].
O que é pedido:
  • Calcular os vetores \vec{r}, \vec{v} e \vec{a} no instante t=2\\ \text{s}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função posição é dada por \vec{r}(t) com componentes x(t)=2t^{3}-5t e y(t)=6-t^{4}.
  • As unidades são do Sistema Internacional (logo x e y em metros, velocidade em metros por segundo e aceleração em metros por segundo ao quadrado).
  • O instante de interesse é t=2\\ \text{s}.

Passo 2

Conceito e método para obter \vec{v}(t) e \vec{a}(t) (explicação passo a passo):
  • A velocidade \vec{v}(t) é a derivada temporal da posição: \displaystyle \vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}.
    Isso significa que diferenciamos componente a componente: \vec{v}(t)=\frac{dx}{dt}\,\hat{\imath}+\frac{dy}{dt}\,\hat{\jmath}.
  • A aceleração \vec{a}(t) é a derivada temporal da velocidade (ou segunda derivada da posição): \vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}.
  • Regra de diferenciação usada (regra do poder): para t^{n}, \frac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{\,n-1}.Também usamos que a derivada de uma constante é zero e que constantes multiplicativas saem da derivada.

Passo 3

Derivar a componente x(t)=2t^{3}-5t para obter \frac{dx}{dt}:
  • Aplicando a regra do poder: \frac{d}{dt}\bigl(2t^{3}\bigr)=2\cdot 3t^{2}=6t^{2},
\frac{d}{dt}\bigl(-5t\bigr)=-5.
  • Somando os termos: \frac{dx}{dt}=6t^{2}-5.

Passo 4

Derivar a componente y(t)=6-t^{4} para obter \frac{dy}{dt}:
  • A derivada da constante 6 é zero.
  • Aplicando a regra do poder em -t^{4}: \frac{d}{dt}\bigl(-t^{4}\bigr)=-4t^{3}.
  • Portanto \frac{dy}{dt}=-4t^{3}.

Passo 5

Escrever a expressão geral para a velocidade \vec{v}(t) (combinando os resultados dos passos anteriores):
\vec{v}(t)=\bigl(6t^{2}-5\bigr)\hat{\imath}+\bigl(-4t^{3}\bigr)\hat{\jmath}.

Passo 6

Derivar as componentes da velocidade para obter a aceleração \vec{a}(t):
  • Derivando \frac{dx}{dt}=6t^{2}-5: \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{d}{dt}\bigl(6t^{2}-5\bigr)=6\cdot 2t=12t.
  • Derivando \frac{dy}{dt}=-4t^{3}: \frac{d^{2}y}{dt^{2}}=\frac{d}{dt}\bigl(-4t^{3}\bigr)=-4\cdot 3t^{2}=-12t^{2}.
  • Logo, \vec{a}(t)=\bigl(12t\bigr)\hat{\imath}+\bigl(-12t^{2}\bigr)\hat{\jmath}.

Passo 7

Avaliar a posição \vec{r}(t) em t=2\\ \text{s}:
  • Calcular a componente x(2): x(2)=2\cdot(2)^{3}-5\cdot(2)=2\cdot 8-10=16-10=6.
  • Calcular a componente y(2): y(2)=6-(2)^{4}=6-16=-10.
  • Portanto \vec{r}(2)=6\hat{\imath}-10\hat{\jmath}\quad(\text{m}).

Passo 8

Avaliar a velocidade \vec{v}(t) em t=2\\ \text{s}:
  • Calcular \frac{dx}{dt} em t=2: 6(2)^{2}-5=6\cdot 4-5=24-5=19.
  • Calcular \frac{dy}{dt} em t=2: -4(2)^{3}=-4\cdot 8=-32.
  • Portanto \vec{v}(2)=19\hat{\imath}-32\hat{\jmath}\quad(\text{m/s}).

Passo 9

Avaliar a aceleração \vec{a}(t) em t=2\\ \text{s}:
  • Calcular 12t em t=2: 12\cdot 2=24.
  • Calcular -12t^{2} em t=2: -12\cdot (2)^{2}=-12\cdot 4=-48.
  • Portanto \vec{a}(2)=24\hat{\imath}-48\hat{\jmath}\quad(\text{m/s}^{2}).

Resposta

\vec{r}(2)=6\hat{\imath}-10\hat{\jmath}\\ \text{m}
\vec{v}(2)=19\hat{\imath}-32\hat{\jmath}\\ \text{m/s}
\vec{a}(2)=24\hat{\imath}-48\hat{\jmath}\\ \text{m/s}^{2}

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