1- A posição de uma partícula que se move no plano xy é dada por:
. Calcule os vetores r , v e a para o instante 2 s .
Passo 1
O enunciado dá a posição de uma partícula que se move no plano
como
O que é pedido:
- Calcular os vetores
, e no instante .
Informações relevantes fornecidas:
- A função posição é dada por
com componentes e . - As unidades são do Sistema Internacional (logo
e em metros, velocidade em metros por segundo e aceleração em metros por segundo ao quadrado). - O instante de interesse é
.
Passo 2
Conceito e método para obter
e
(explicação passo a passo):
- A velocidade
é a derivada temporal da posição: .
Isso significa que diferenciamos componente a componente: - A aceleração
é a derivada temporal da velocidade (ou segunda derivada da posição): - Regra de diferenciação usada (regra do poder): para
, Também usamos que a derivada de uma constante é zero e que constantes multiplicativas saem da derivada.
Passo 3
Derivar a componente
para obter
:
- Aplicando a regra do poder:
- Somando os termos:
Passo 4
Derivar a componente
para obter
:
- A derivada da constante
é zero. - Aplicando a regra do poder em
: - Portanto
Passo 5
Escrever a expressão geral para a velocidade
(combinando os resultados dos passos anteriores):
Passo 6
Derivar as componentes da velocidade para obter a aceleração
:
- Derivando
: - Derivando
: - Logo,
Passo 7
Avaliar a posição
em
:
- Calcular a componente
: - Calcular a componente
: - Portanto
Passo 8
Avaliar a velocidade
em
:
- Calcular
em : - Calcular
em : - Portanto
Passo 9
Avaliar a aceleração
em
:
- Calcular
em : - Calcular
em : - Portanto