A posição angular de uma partícula de massa 2,5 kg na borda de uma roda de raio de 5 m é dada por:
theta(t)=4 t-3 t^2+3 t^3
em que theta está em radianos e t em segundos. Determine:
b) A velocidade linear da partícula;

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que uma partícula de massa 2,5 kg está na borda de uma roda de raio 5 m e sua posição angular é
theta(t)=4t - 3t^2 + 3t^3
com θ em rad e t em s. Aqui o que a gente vai fazer é achar a velocidade linear dessa partícula. Isso envolve dois conteúdos principais da matéria:
  1. Derivar θ(t) pra achar a velocidade angular ω(t).
  2. Usar a relação entre velocidade linear e angular: .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a velocidade angular ω(t). Por definição,
omega(t)=dthetadt
Para derivar omega(t) = ddtl(4tr) - ddtl(3t^2r) + ddtl(3t^3r) = 4 - 6t + 9t^2 , lembramos da regra: a derivada de é . Então:

Passo 3

Agora, pra passar de velocidade angular ω para velocidade linear v, usamos a fórmula
v(t)=r,omega(t),
porque cada radiano no círculo de raio v(t)=5l(4 - 6t + 9t^2r) =20 -30t +45t^2(m/s) corresponde a um arco de comprimento . Substituindo m e :

Resposta

boxedv(t)=20 - 30,t + 45,t^2 m/s

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