A posição angular de um ponta da borda de uma roda é dada por theta=2,0 t-4,0 t^2+2,0 t^3, onde theta esta em radianos e t em segundos. Em t=0, determine:
sua velocidade angular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a posição angular de uma ponta da borda de uma roda, dada pela fórmula theta=2,0 t - 4,0 t^2 + 2,0 t^3, onde theta está em radianos e t em segundos. O que precisamos encontrar aqui é a velocidade angular nesse instante inicial, ou seja, quando t=0. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a velocidade angular. Ela representa a taxa com que a posição angular ( theta) muda em relação ao tempo ( t). Matematicamente, isso é a derivada de theta em relação a t, ou seja, omega = dthetadt.

Passo 3

Vamos derivar a função dada para encontrar a expressão da velocidade angular. A função é:
theta(t) = 2,0 t - 4,0 t^2 + 2,0 t^3
Aplicando as regras de derivação:
  • A derivada de 2,0 t é 2,0.
  • A derivada de -4,0 t^2 é -8,0 t.
  • A derivada de 2,0 t^3 é 6,0 t^2.
Então, a velocidade angular fica:
omega(t) = 2,0 - 8,0 t + 6,0 t^2

Passo 4

Agora, queremos saber a velocidade angular exatamente em t=0. Basta substituir t=0 na expressão da velocidade angular que encontramos:
omega(0) = 2,0 - 8,0 times 0 + 6,0 times 0^2
Simplificando os termos:
omega(0) = 2,0 - 0 + 0 = 2,0 , rad/s

Resposta

A velocidade angular em t=0 é 2,0 rad/s.

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