João e Maria foram ao parque e se depararam com uma gangorra, cujo comprimento total era de 4,0 m. Maria rapidamente se sentou em uma das extremidades da gangorra e pediu que João se sentasse na outra. Por gostar de física, e sabendo que sua massa era maior que a de Maria, João sentou-se em uma parte da gangorra entre o ponto de rotação e sua extremidade, de forma que a gangorra ficou perfeitamente equilibrada. Sabendo que Maria tem 40 kg e João 60 kg , determine a que distância de Maria João precisou se sentar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma gangorra de 4 metros de comprimento onde Maria e João se sentam para equilibrar. Maria pesa 40 kg e João pesa 60 kg. A matéria envolvida aqui é Física, mais especificamente o conceito de equilíbrio de momentos. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do momento de força, que relaciona a massa, a gravidade e a distância em relação ao ponto de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento de força. O momento de força (M) é calculado pela fórmula:
M = F times d
Onde:
  • $ F $ é a força (no caso, o peso, que é massa vezes gravidade, $ F = m \times g $)
  • $ d $ é a distância do ponto de rotação
Como a gangorra está equilibrada, os momentos das duas pessoas devem ser iguais.

Passo 3

Vamos identificar as forças envolvidas:
  • Massa de Maria ($ m_M $) = 40 kg
  • Massa de João ($ m_J $) = 60 kg
  • Comprimento total da gangorra = 4,0 m
Assumimos que o ponto de rotação está no centro da gangorra, então a distância de cada extremidade até o ponto de rotação é de 2,0 m.

Passo 4

Como João vai se sentar entre o ponto de rotação e sua extremidade, vamos chamar a distância de João até o ponto de rotação de $ x $. A distância de Maria até o ponto de rotação é de 2,0 m.
Agora, aplicando a fórmula do momento de força para equilibrar a gangorra:
x
Onde:
  • $ d_M = 2,0 , m $
  • $ d_J = 2,0 , m - x $

Passo 5

Podemos simplificar a equação porque a gravidade ($ g $) é a mesma para ambos:
g
Substituindo os valores conhecidos:
mM times dM = mJ times dJ

Passo 6

Vamos resolver a equação:
80 , kg cdot m = 60 , kg times (2,0 , m - x)
Dividindo ambos os lados por 60 kg:
8060 , m = 2,0 , m - x
Simplificando:
43 , m = 2,0 , m - x

Passo 7

Isolando $ x $:
x
Calculando:
x = 2,0 , m - 43 , m

Resposta

João precisou se sentar a $ \frac{2}{3} $ metros (ou aproximadamente 0,67 m) de Maria para que a gangorra ficasse perfeitamente equilibrada.

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