A posição angular em radianos de um ponto em uma roda é dada por \theta(t)=\pi+4 \pi t^{3}, quando t é dado em segundos. Determine as equações para (a) a velocidade angular e (b) a aceleração angular desse ponto. (c) Quanto tempo leva para que o ponto complete 2 revoluções e quais são (d) a velocidade angular e (e) a aceleração angular neste momento?

Passo 1

O enunciado dá a posição angular de um ponto numa roda:
\theta(t)=\pi+4\pi t^{3},
com t em segundos. As perguntas são:
(a) determinar a velocidade angular em função de t;
(b) determinar a aceleração angular em função de t;
(c) achar o tempo necessário para o ponto completar 2 revoluções;
(d) calcular a velocidade angular nesse instante;
(e) calcular a aceleração angular nesse instante.
Informações úteis que já estão no enunciado:
  • A posição angular \theta(t) está em radianos.
  • Em t=0 tem-se \theta(0)=\pi (ângulo inicial).
  • Uma volta completa (uma revolução) equivale a 2\pi radianos, logo duas revoluções correspondem a 4\pi radianos.

Passo 2

Definição e ideia para (a): a velocidade angular \omega(t) é a taxa instantânea de variação da posição angular, isto é, a derivada de \theta(t) em relação ao tempo:
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}.
Regra de derivação usada (lembrando devagar): a derivada de uma constante é zero; a derivada de t^{n} é n t^{n-1}; constantes multiplicativas saem na frente. Aplicando isso em \theta(t)=\pi+4\pi t^{3}:
  • derivada de \pi é 0;
  • derivada de 4\pi t^{3} é 4\pi\cdot 3 t^{2}=12\pi t^{2}.
    Portanto
\omega(t)=12\pi t^{2}.
Unidade: como \theta está em radianos e t em segundos, \omega(t) tem unidade \text{rad/s}. Intenção física: \omega(t) diz quantos radianos por segundo o ponto está girando naquele tempo.

Passo 3

Definição e ideia para (b): a aceleração angular \alpha(t) é a taxa de variação da velocidade angular, isto é, a derivada de \omega(t) em relação ao tempo (ou a segunda derivada de \theta):
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}.
Usando \omega(t)=12\pi t^{2} e a regra \dfrac{d}{dt}t^{2}=2t, temos:
\alpha(t)=12\pi\cdot 2t=24\pi t.
Unidade: \text{rad/s}^{2}. Interpretação: \alpha(t) indica quanto a velocidade angular está aumentando (ou diminuindo) por segundo.

Passo 4

Resolver (c): tempo para completar 2 revoluções.
  • Uma revolução = 2\pi rad. Duas revoluções = 4\pi rad.
  • Partir do ângulo inicial \theta(0)=\pi. Para completar 2 revoluções a partir do início, a posição angular deve aumentar em 4\pi, ou seja queremos \theta(t)=\pi+4\pi.
    Escrever a equação:
\pi+4\pi t^{3}=\pi+4\pi.
Subtrair \pi dos dois lados:
4\pi t^{3}=4\pi.
Dividir por 4\pi (não nulo):
t^{3}=1.
Logo, tomando a raiz cúbica (e considerando t\ge 0):
t=1\\ \text{s}.

Passo 5

Resolver (d) e (e): avaliar \omega(t) e \alpha(t) em t=1.
Usar as fórmulas obtidas:
\omega(1)=12\pi\cdot 1^{2}=12\pi\\ \text{rad/s},
\alpha(1)=24\pi\cdot 1=24\pi\\ \text{rad/s}^{2}.
Se quiser aproximações decimais rápidas: 12\pi\approx 37{,}70\\ \text{rad/s} e 24\pi\approx 75{,}40\\ \text{rad/s}^{2}, mas as formas exatas em \pi são preferíveis em prova.

Resposta

(a) \omega(t)=12\pi t^{2}\\ \text{rad/s}
(b) \alpha(t)=24\pi t\\ \text{rad/s}^{2}
(c) t=1\\ \text{s}
(d) \omega(1)=12\pi\\ \text{rad/s}
(e) \alpha(1)=24\pi\\ \text{rad/s}^{2}

Exercícios relacionados