A posição angular em radianos de um ponto em uma roda é dada por
, quando
é dado em segundos. Determine as equações para (a) a velocidade angular e (b) a aceleração angular desse ponto. (c) Quanto tempo leva para que o ponto complete 2 revoluções e quais são (d) a velocidade angular e (e) a aceleração angular neste momento?
Passo 1
O enunciado dá a posição angular de um ponto numa roda:
com
em segundos. As perguntas são:
(a) determinar a velocidade angular em função de ;
(b) determinar a aceleração angular em função de ;
(c) achar o tempo necessário para o ponto completar 2 revoluções;
(d) calcular a velocidade angular nesse instante;
(e) calcular a aceleração angular nesse instante.
(a) determinar a velocidade angular em função de
(b) determinar a aceleração angular em função de
(c) achar o tempo necessário para o ponto completar 2 revoluções;
(d) calcular a velocidade angular nesse instante;
(e) calcular a aceleração angular nesse instante.
Informações úteis que já estão no enunciado:
- A posição angular
está em radianos. - Em
tem-se (ângulo inicial). - Uma volta completa (uma revolução) equivale a
radianos, logo duas revoluções correspondem a radianos.
Passo 2
Definição e ideia para (a): a velocidade angular
é a taxa instantânea de variação da posição angular, isto é, a derivada de
em relação ao tempo:
Regra de derivação usada (lembrando devagar): a derivada de uma constante é zero; a derivada de
é
; constantes multiplicativas saem na frente. Aplicando isso em
:
- derivada de
é ; - derivada de
é .
Portanto
Unidade: como
está em radianos e
em segundos,
tem unidade
. Intenção física:
diz quantos radianos por segundo o ponto está girando naquele tempo.
Passo 3
Definição e ideia para (b): a aceleração angular
é a taxa de variação da velocidade angular, isto é, a derivada de
em relação ao tempo (ou a segunda derivada de
):
Usando
e a regra
, temos:
Unidade:
. Interpretação:
indica quanto a velocidade angular está aumentando (ou diminuindo) por segundo.
Passo 4
Resolver (c): tempo para completar 2 revoluções.
- Uma revolução =
rad. Duas revoluções = rad. - Partir do ângulo inicial
. Para completar 2 revoluções a partir do início, a posição angular deve aumentar em , ou seja queremos .
Escrever a equação:
Subtrair
dos dois lados:
Dividir por
(não nulo):
Logo, tomando a raiz cúbica (e considerando
):
Passo 5
Resolver (d) e (e): avaliar
e
em
.
Usar as fórmulas obtidas:
Usar as fórmulas obtidas:
Se quiser aproximações decimais rápidas:
e
, mas as formas exatas em
são preferíveis em prova.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)