Uma fatia de pão com manteiga na sua face superior é derrubado de uma mesa de altura 76 cm . Supondo que o pão realiza um movimento de rotação em relação a um eixo horizontal que passa pelo seu centro, determine (a) para quais ângulos de rotação a fatia de pão acaba com manteiga para cima (b) e para baixo. Quais são (c) a maior e (d) menor velocidade angular média para a fatia cair com manteiga para baixo. Suponha que a fatia de pão realiza no máximo uma revolução completa.
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte:
-
Dados fornecidos:
- Altura da mesa:
. - A fatia começa com a face com manteiga voltada para cima.
- A fatia gira em torno de um eixo horizontal passando pelo seu centro.
- A fatia realiza no máximo uma revolução completa durante a queda (ou seja, o ângulo total de rotação
satisfaz ). - A gravidade vale
(usar ).
- Altura da mesa:
-
Perguntas:
(a) Para quais ângulos de rotação a fatia acaba com manteiga para cima?
(b) Para quais ângulos de rotação a fatia acaba com manteiga para baixo?
(c) Qual é a maior velocidade angular média para a fatia cair com manteiga para baixo?
(d) Qual é a menor velocidade angular média para a fatia cair com manteiga para baixo?
Passo 2
Como identificar se a manteiga fica para cima ou para baixo a partir do ângulo
.
- Pense na normal à face manteigada: inicialmente a componente vertical dessa normal aponta para cima. Depois de uma rotação de
em torno de um eixo horizontal, a componente vertical da normal fica proporcional a . - Se
a componente vertical é positiva e a manteiga está voltada para cima; se a componente vertical é negativa e a manteiga está voltada para baixo. - Observação: se
(isto é, ou ) a fatia está exatamente de lado (nem claramente para cima nem para baixo).
Essa é a condição-chave que vamos usar: manteiga para cima quando
; manteiga para baixo quando
.
Passo 3
Determinar, com
no intervalo permitido
, os intervalos de ângulos que dão manteiga para cima ou para baixo.
-
A função
é positiva quando Restringindo a, isso corresponde aos dois trechos Nestes intervalos a manteiga fica para cima (exceto nos extremose que são casos de “de lado”). -
A função
é negativa quando e nesses ângulos a manteiga fica para baixo.
Portanto, respondendo (a) e (b) (intervalos em radianos; equivalentes em graus logo a seguir):
- (a) Manteiga para cima:
ou .
Em graus:ou . - (b) Manteiga para baixo:
.
Em graus:.
Passo 4
Calcular o tempo de queda
(tempo disponível para a fatia girar).
- Queda livre sem velocidade vertical inicial satisfaz
Isolando , - Substituindo
e : Usarei .
Explicação didática rápida: essa fórmula vem de
. É a mesma que se usa para bolas largadas sem velocidade inicial: tempo só depende da altura e da gravidade.
Passo 5
Relacionar o ângulo total
percorrido com a velocidade angular média
e achar os valores máximo e mínimo pedidos para terminar com manteiga para baixo.
-
Definição: velocidade angular média durante a queda éonde
é o ângulo total girado enquanto a fatia cai. -
Para que a fatia termine manteiga para baixo devemos terComo
é fixo (calculado no passo anterior), os extremoss possíveis de correspondem aos extremos do intervalo de : - Velocidade angular média mínima para terminar manteiga para baixo:
- Velocidade angular média máxima para terminar manteiga para baixo:
- Velocidade angular média mínima para terminar manteiga para baixo:
-
Agora substituímos
: Cálculo de: Cálculo de: -
Comentário interpretativo: valores estritos (>) e (<) ocorrem porque em
ou a fatia chega de lado; na prática considera-se que para cair explicitamente “com manteiga para baixo” o ângulo deve estar estritamente dentro . Assim os valores numéricos acima são os limites (mínimo e máximo) da velocidade angular média que fazem com que o resultado seja manteiga para baixo.
Resposta
(a) Manteiga para cima:
ou
.
(b) Manteiga para baixo: .
(c) Maior velocidade angular média para cair com manteiga para baixo:
(d) Menor velocidade angular média para cair com manteiga para baixo:
(b) Manteiga para baixo:
(c) Maior velocidade angular média para cair com manteiga para baixo:
(d) Menor velocidade angular média para cair com manteiga para baixo: