Uma fatia de pão com manteiga na sua face superior é derrubado de uma mesa de altura 76 cm . Supondo que o pão realiza um movimento de rotação em relação a um eixo horizontal que passa pelo seu centro, determine (a) para quais ângulos de rotação a fatia de pão acaba com manteiga para cima (b) e para baixo. Quais são (c) a maior e (d) menor velocidade angular média para a fatia cair com manteiga para baixo. Suponha que a fatia de pão realiza no máximo uma revolução completa.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • Altura da mesa: h=76\\ \text{cm}=0,76\\ \text{m}.
    • A fatia começa com a face com manteiga voltada para cima.
    • A fatia gira em torno de um eixo horizontal passando pelo seu centro.
    • A fatia realiza no máximo uma revolução completa durante a queda (ou seja, o ângulo total de rotação \theta satisfaz 0\le \theta\le 2\pi).
    • A gravidade vale g (usar g=9,8\\ \text{m/s}^2).
  • Perguntas:
    (a) Para quais ângulos de rotação a fatia acaba com manteiga para cima?
    (b) Para quais ângulos de rotação a fatia acaba com manteiga para baixo?
    (c) Qual é a maior velocidade angular média para a fatia cair com manteiga para baixo?
    (d) Qual é a menor velocidade angular média para a fatia cair com manteiga para baixo?

Passo 2

Como identificar se a manteiga fica para cima ou para baixo a partir do ângulo \theta.
  • Pense na normal à face manteigada: inicialmente a componente vertical dessa normal aponta para cima. Depois de uma rotação de \theta em torno de um eixo horizontal, a componente vertical da normal fica proporcional a \cos\theta.
  • Se \cos\theta>0 a componente vertical é positiva e a manteiga está voltada para cima; se \cos\theta<0 a componente vertical é negativa e a manteiga está voltada para baixo.
  • Observação: se \cos\theta=0 (isto é, \theta=\tfrac{\pi}{2} ou \theta=\tfrac{3\pi}{2}) a fatia está exatamente de lado (nem claramente para cima nem para baixo).
Essa é a condição-chave que vamos usar: manteiga para cima quando \cos\theta>0; manteiga para baixo quando \cos\theta<0.

Passo 3

Determinar, com \theta no intervalo permitido [0,2\pi], os intervalos de ângulos que dão manteiga para cima ou para baixo.
  • A função \cos\theta é positiva quando
    -\tfrac{\pi}{2}<\theta<\tfrac{\pi}{2}\quad(\text{mód }2\pi).ó
    Restringindo a [0,2\pi], isso corresponde aos dois trechos
    0\le \theta<\tfrac{\pi}{2}\quad\text{e}\quad \tfrac{3\pi}{2}<\theta\le 2\pi.
    Nestes intervalos a manteiga fica para cima (exceto nos extremos \theta=\tfrac{\pi}{2} e \theta=\tfrac{3\pi}{2} que são casos de “de lado”).
  • A função \cos\theta é negativa quando
    \tfrac{\pi}{2}<\theta<\tfrac{3\pi}{2},
    e nesses ângulos a manteiga fica para baixo.
Portanto, respondendo (a) e (b) (intervalos em radianos; equivalentes em graus logo a seguir):
  • (a) Manteiga para cima: \;0\le \theta<\tfrac{\pi}{2}\; ou \;\tfrac{3\pi}{2}<\theta\le 2\pi.
    Em graus: 0^\circ\le\theta<90^\circ ou 270^\circ<\theta\le360^\circ.
  • (b) Manteiga para baixo: \;\tfrac{\pi}{2}<\theta<\tfrac{3\pi}{2}.
    Em graus: 90^\circ<\theta<270^\circ.

Passo 4

Calcular o tempo de queda t (tempo disponível para a fatia girar).
  • Queda livre sem velocidade vertical inicial satisfaz h=\tfrac{1}{2}g t^2.Isolando t, t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}.
  • Substituindo h=0,76\\ \text{m} e g=9,8\\ \text{m/s}^2: t=\sqrt{\dfrac{2\cdot 0,76}{9,8}}=\sqrt{\dfrac{1,52}{9,8}}=\sqrt{0,1551020408\ldots}\approx 0,3938\\ \text{s}.Usarei t\approx 0,3938\\ \text{s}.
Explicação didática rápida: essa fórmula vem de s=\tfrac{1}{2}gt^2. É a mesma que se usa para bolas largadas sem velocidade inicial: tempo só depende da altura e da gravidade.

Passo 5

Relacionar o ângulo total \theta percorrido com a velocidade angular média \bar{\omega} e achar os valores máximo e mínimo pedidos para terminar com manteiga para baixo.
  • Definição: velocidade angular média durante a queda é
    \bar{\omega}=\dfrac{\theta}{t},
    onde \theta é o ângulo total girado enquanto a fatia cai.
  • Para que a fatia termine manteiga para baixo devemos ter
    \tfrac{\pi}{2}<\theta<\tfrac{3\pi}{2}.
    Como t é fixo (calculado no passo anterior), os extremoss possíveis de \bar{\omega} correspondem aos extremos do intervalo de \theta:
    • Velocidade angular média mínima para terminar manteiga para baixo: \bar{\omega}_{\min}=\dfrac{\theta_{\min}}{t}=\dfrac{\tfrac{\pi}{2}}{t}=\dfrac{\pi}{2t}.
    • Velocidade angular média máxima para terminar manteiga para baixo: \bar{\omega}_{\max}=\dfrac{\theta_{\max}}{t}=\dfrac{\tfrac{3\pi}{2}}{t}=\dfrac{3\pi}{2t}.
  • Agora substituímos t\approx 0,3938\\ \text{s}:
    Cálculo de \bar{\omega}_{\min}:
    \bar{\omega}_{\min}=\dfrac{\pi/2}{0,3938}\approx \dfrac{1,5707963}{0,3938}\approx 3,99\\ \text{rad/s}.
    Cálculo de \bar{\omega}_{\max}:
    \bar{\omega}_{\max}=\dfrac{3\pi/2}{0,3938}\approx \dfrac{4,712389}{0,3938}\approx 11,97\\ \text{rad/s}.
  • Comentário interpretativo: valores estritos (>) e (<) ocorrem porque em \theta=\tfrac{\pi}{2} ou \theta=\tfrac{3\pi}{2} a fatia chega de lado; na prática considera-se que para cair explicitamente “com manteiga para baixo” o ângulo deve estar estritamente dentro \left(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\right). Assim os valores numéricos acima são os limites (mínimo e máximo) da velocidade angular média que fazem com que o resultado seja manteiga para baixo.

Resposta

(a) Manteiga para cima: \;0\le \theta<\tfrac{\pi}{2}\; ou \;\tfrac{3\pi}{2}<\theta\le 2\pi.
(b) Manteiga para baixo: \;\tfrac{\pi}{2}<\theta<\tfrac{3\pi}{2}.
(c) Maior velocidade angular média para cair com manteiga para baixo: \;\bar{\omega}_{\max}\approx 11,97\\ \text{rad/s}.
(d) Menor velocidade angular média para cair com manteiga para baixo: \;\bar{\omega}_{\min}\approx 3,99\\ \text{rad/s}.

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