Um ventilador em repouso é ligado e ajustado de forma que a velocidade angular de suas pás aumenta uniformemente até atingir 573 rpm (rotações por minuto) em 6,00 segundos. Considerando o momento que o ventilador atinge sua velocidade angular final, determine (a) a velocidade angular em rad/s dás pás do ventilador, (b) a aceleração angular em rad
a aceleração tangencial no ponto da pá mais distante do eixo de rotação se as pás tem
de comprimento, e (d) a aceleração radial desse mesmo ponto. (e) Escreva a equação para a posição angular
nos primeiros 6 segundos para uma das pás do ventilador se inicialmente
.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos (listei exatamente o que foi dado):
- O ventilador parte do repouso e, com aceleração angular constante, atinge
em . - Comprimento (raio) da pá:
.
As perguntas são:
(a) qual é a velocidade angular final em;
(b) qual é a aceleração angular média (constante) em;
(c) qual é a aceleração tangencial no ponto mais distante (ponta da pá);
(d) qual é a aceleração radial (centrípeta) nesse mesmo ponto;
(e) escrever a equação da posição angularpara os primeiros assumindo .
Passo 2
Converter a velocidade angular dada em
para
(explicando a fórmula).
- Lembrete:
e . Portanto, para converter de para usa-se
Aplicando ao caso:
Agora um valor numérico (mostrando mais casas e depois arredondando conforme algarismos significativos):
Como os dados têm três algarismos significativos (
), vamos expressar a resposta final com três algarismos significativos:
Passo 3
Calcular a aceleração angular
usando definição (explicando o conceito).
- A aceleração angular média (aqui constante) é a variação da velocidade angular por unidade de tempo:
- No problema
(repouso) e . Então
Valor numérico (mostrando precisão antes do arredondamento):
Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 4
Calcular a aceleração tangencial no ponto da ponta da pá (explicando as fórmulas e variáveis).
- A aceleração tangencial
de um ponto que gira rigidamente é relacionada à aceleração angular por
onde
é a distância do ponto ao eixo de rotação (raio).
- Convertendo o comprimento da pá:
(três algarismos significativos). - Usando
não arredondada para melhor precisão e depois arredondando para o número de algarismos significativos do dado:
Arredondando a três algarismos significativos (o dado do raio tem três algarismos):
Passo 5
Calcular a aceleração radial (centrípeta) no mesmo ponto (explicando a fórmula e quando usá-la).
- A aceleração radial (centrípeta) para um movimento circular com velocidade angular
é
onde
é a velocidade angular instantânea (aqui tomamos a final) e
é o raio.
- Usando
e :
Arredondando para três algarismos significativos:
(Observação didática: a aceleração radial costuma ser muito maior que a tangencial quando a velocidade de rotação é alta, porque depende de
.)
Passo 6
Escrever a equação da posição angular
para os primeiros
(com dedução e substituição).
- Para movimento com aceleração angular constante
, e com e iniciais, a posição angular é
- No problema
e . Portanto
- Substituindo o valor numérico arredondado de
(três algarismos significativos) obtemos a forma prática:
- Se for necessário usar a
com maior precisão, pode-se escrever
Passo 7
Pequenas verificações e dicas para a prova (motivação curta):
- Conversões iniciais são cruciais: sempre converta
para antes de usar fórmulas com . - Lembre-se das três fórmulas básicas usadas aqui:
-
, -
, -
.
-
- Vai dar certo — lembra que exercitar umas conversões e aplicar essas fórmulas rapidamente resolve problemas parecidos na prova.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) (para
)
(b)
(c)
(d)
(e)