Um ventilador em repouso é ligado e ajustado de forma que a velocidade angular de suas pás aumenta uniformemente até atingir 573 rpm (rotações por minuto) em 6,00 segundos. Considerando o momento que o ventilador atinge sua velocidade angular final, determine (a) a velocidade angular em rad/s dás pás do ventilador, (b) a aceleração angular em rad / \mathrm{s}^{2},(\mathbf{c}) a aceleração tangencial no ponto da pá mais distante do eixo de rotação se as pás tem 40,0 \mathrm{~cm} de comprimento, e (d) a aceleração radial desse mesmo ponto. (e) Escreva a equação para a posição angular \theta(t) nos primeiros 6 segundos para uma das pás do ventilador se inicialmente \theta_{0}=0.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (listei exatamente o que foi dado):
  • O ventilador parte do repouso e, com aceleração angular constante, atinge 573\\ \mathrm{rpm} em 6{,}00\\ \mathrm{s}.
  • Comprimento (raio) da pá: 40{,}0\\ \mathrm{cm}.
    As perguntas são:
    (a) qual é a velocidade angular final em \mathrm{rad/s};
    (b) qual é a aceleração angular média (constante) em \mathrm{rad/s^{2}};
    (c) qual é a aceleração tangencial no ponto mais distante (ponta da pá);
    (d) qual é a aceleração radial (centrípeta) nesse mesmo ponto;
    (e) escrever a equação da posição angular \theta(t) para os primeiros 6{,}00\\ \mathrm{s} assumindo \theta_{0}=0.

Passo 2

Converter a velocidade angular dada em \mathrm{rpm} para \mathrm{rad/s} (explicando a fórmula).
  • Lembrete: 1\\ \mathrm{rev} = 2\pi\\ \mathrm{rad} e 1\\ \mathrm{min}=60\\ \mathrm{s}. Portanto, para converter de \mathrm{rpm} para \mathrm{rad/s} usa-se
\omega\\ (\mathrm{rad/s})=\text{(valor em rpm)}\times\frac{2\pi}{60}.
Aplicando ao caso:
\omega_{\text{final}}=573\cdot\frac{2\pi}{60}=\frac{573}{30}\pi=19{,}1\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Agora um valor numérico (mostrando mais casas e depois arredondando conforme algarismos significativos):
19{,}1\pi\approx60{,}004419\\ \mathrm{rad/s}.
Como os dados têm três algarismos significativos ( 573,\;6{,}00,\;40{,}0), vamos expressar a resposta final com três algarismos significativos:
\omega_{\text{final}}\approx60{,}0\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Calcular a aceleração angular \alpha usando definição (explicando o conceito).
  • A aceleração angular média (aqui constante) é a variação da velocidade angular por unidade de tempo:
\alpha=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\frac{\omega_{\text{final}}-\omega_{0}}{t_{\text{final}}-t_{0}}.
  • No problema \omega_{0}=0 (repouso) e \Delta t=6{,}00\\ \mathrm{s}. Então
\alpha=\frac{19{,}1\pi}{6{,}00}=\frac{191\pi}{60}\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
Valor numérico (mostrando precisão antes do arredondamento):
\alpha\approx10{,}00074\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
Arredondando para três algarismos significativos:
\alpha\approx10{,}0\\ \mathrm{rad/s^{2}}.

Passo 4

Calcular a aceleração tangencial no ponto da ponta da pá (explicando as fórmulas e variáveis).
  • A aceleração tangencial a_{t} de um ponto que gira rigidamente é relacionada à aceleração angular por
a_{t}=\alpha\,r,
onde r é a distância do ponto ao eixo de rotação (raio).
  • Convertendo o comprimento da pá: 40{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}400\\ \mathrm{m} (três algarismos significativos).
  • Usando \alpha não arredondada para melhor precisão e depois arredondando para o número de algarismos significativos do dado:
a_{t}=\left(10{,}00074\\ \mathrm{rad/s^{2}}\right)\times0{,}400\\ \mathrm{m}=4{,}000296\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando a três algarismos significativos (o dado do raio tem três algarismos):
a_{t}\approx4{,}00\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Calcular a aceleração radial (centrípeta) no mesmo ponto (explicando a fórmula e quando usá-la).
  • A aceleração radial (centrípeta) para um movimento circular com velocidade angular \omega é
a_{r}=\omega^{2}r,
onde \omega é a velocidade angular instantânea (aqui tomamos a final) e r é o raio.
  • Usando \omega_{\text{final}}\approx60{,}004419\\ \mathrm{rad/s} e r=0{,}400\\ \mathrm{m}:
a_{r}=(60{,}004419\\ \mathrm{rad/s})^{2}\times0{,}400\\ \mathrm{m}\approx1\,440{,}21\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando para três algarismos significativos:
a_{r}\approx1{,}44\times10^{3}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
(Observação didática: a aceleração radial costuma ser muito maior que a tangencial quando a velocidade de rotação é alta, porque depende de \omega^{2}.)

Passo 6

Escrever a equação da posição angular \theta(t) para os primeiros 6{,}00\\ \mathrm{s} (com dedução e substituição).
  • Para movimento com aceleração angular constante \alpha, e com \theta_{0} e \omega_{0} iniciais, a posição angular é
\theta(t)=\theta_{0}+\omega_{0}t+\tfrac{1}{2}\alpha t^{2}.
  • No problema \theta_{0}=0 e \omega_{0}=0. Portanto
\theta(t)=\tfrac{1}{2}\alpha t^{2}.
  • Substituindo o valor numérico arredondado de \alpha=10{,}0\\ \mathrm{rad/s^{2}} (três algarismos significativos) obtemos a forma prática:
\theta(t)=\tfrac{1}{2}\,(10{,}0)\,t^{2}=5{,}00\,t^{2}\quad(\mathrm{rad}),\qquad 0\le t\le6{,}00\\ \mathrm{s}.
  • Se for necessário usar a \alpha com maior precisão, pode-se escrever
\theta(t)=\tfrac{1}{2}\left(10{,}00074\right)t^{2}\\ \mathrm{rad}.

Passo 7

Pequenas verificações e dicas para a prova (motivação curta):
  • Conversões iniciais são cruciais: sempre converta \mathrm{rpm} para \mathrm{rad/s} antes de usar fórmulas com \omega.
  • Lembre-se das três fórmulas básicas usadas aqui:
    • \omega=\omega_{0}+\alpha t,
    • a_{t}=\alpha r,
    • a_{r}=\omega^{2}r.
  • Vai dar certo — lembra que exercitar umas conversões e aplicar essas fórmulas rapidamente resolve problemas parecidos na prova.

Resposta

(a) 60{,}0\\ \mathrm{rad/s}
(b) 10{,}0\\ \mathrm{rad/s^{2}}
(c) 4{,}00\\ \mathrm{m/s^{2}}
(d) 1{,}44\times10^{3}\\ \mathrm{m/s^{2}}
(e) \theta(t)=5{,}00\,t^{2}\\ \mathrm{rad} (para 0\le t\le6{,}00\\ \mathrm{s})

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