A posição de uma bola, lancada verticalmente para cima, está descrita pela equação y=7 t-4.9 t^{2}, onde y está em metros e t em segundos. Achar a velocidade inicial da bola, v_{0}, a velocidade em t=1.26 s e a aceleração da bola.

Passo 1

O enunciado dá a posição da bola em função do tempo:
y(t)=7\,t-4,9\,t^{2},
onde y está em metros e t em segundos. As perguntas são:
  • Achar a velocidade inicial da bola, v_{0}.
  • Achar a velocidade em t=1,26\\ \text{s}.
  • Achar a aceleração da bola.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função posição é \;y(t)=7\,t-4,9\,t^{2}.
  • Unidades: y em metros, t em segundos. Portanto velocidades virão em \text{m/s} e acelerações em \text{m/s}^{2}.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Velocidade instantânea v(t) é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, isto é a derivada da função posição: \;v(t)=\dfrac{dy}{dt}.
    • Intuição: a derivada é o “declive” ou a inclinação da curva y(t) em cada instante; mede quão rápido y muda quando t muda.
  • Aceleração a(t) é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja a derivada da velocidade: \;a(t)=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}.
  • Regra prática (regra do poder/potência) para derivar monômios: se \;f(t)=c\,t^{n} então \;f'(t)=c\,n\,t^{n-1}, onde c e n são constantes. Exemplo simples: derivada de t^{2} é 2t; derivada de 3t é 3.

Passo 3

Aplicando a definição e a regra da potência para encontrar a função velocidade:
Derivar termo a termo a função \;y(t)=7\,t-4,9\,t^{2}.
  • Derivada de \;7\,t é \;7 (pois é 7\cdot t^{1} e 1\cdot t^{0}=1).
  • Derivada de \;-4,9\,t^{2} é \;-4,9\cdot 2\,t = -9,8\,t.
    Portanto, isoladamente:
v(t)=7-9,8\,t.
Observação de unidades: como y está em metros e t em segundos, v(t) tem unidades \text{m/s}.

Passo 4

Velocidade inicial v_{0} é a velocidade no instante t=0. Avaliamos v(t) em t=0:
v_{0}=v(0)=7-9,8\cdot 0=7.
Logo \;v_{0}=7\\ \text{m/s}. Interpretação: o sinal positivo significa que, no lançamento, a bola está se movendo para cima (tomando para cima o sentido positivo).

Passo 5

Velocidade em t=1,26\\ \text{s}: substituímos t=1,26 em v(t)=7-9,8\,t.
Calculo passo a passo:
9,8\cdot 1,26 = 12,348
v(1,26)=7-12,348=-5,348\\ \text{m/s}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais): \;v(1,26)\approx -5,35\\ \text{m/s}. Interpretação: o sinal negativo indica que, nesse instante, a bola está se movendo para baixo (ou seja, já passou do ponto de subida máxima).

Passo 6

Aceleração: derivamos a função velocidade para obter a aceleração:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(7-9,8\,t\bigr)=-9,8.
Portanto a aceleração é constante e vale \;a=-9,8\\ \text{m/s}^{2}. Interpretação física: é a aceleração da gravidade (valor negativo porque foi adotado o sentido positivo para cima).

Resposta

v_{0}=7\\ \text{m/s}
v(1,26\\ \text{s})\approx -5,35\\ \text{m/s}
a=-9,8\\ \text{m/s}^{2}

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