A posição de uma bola, lancada verticalmente para cima, está descrita pela equação
, onde
está em metros e
em segundos. Achar a velocidade inicial da bola,
, a velocidade em
e a aceleração da bola.
Passo 1
O enunciado dá a posição da bola em função do tempo:
onde
está em metros e
em segundos. As perguntas são:
- Achar a velocidade inicial da bola,
. - Achar a velocidade em
. - Achar a aceleração da bola.
Informações relevantes fornecidas:
- A função posição é
. - Unidades:
em metros, em segundos. Portanto velocidades virão em e acelerações em .
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado passo a passo):
- Velocidade instantânea
é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, isto é a derivada da função posição: . - Intuição: a derivada é o “declive” ou a inclinação da curva
em cada instante; mede quão rápido muda quando muda.
- Intuição: a derivada é o “declive” ou a inclinação da curva
- Aceleração
é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja a derivada da velocidade: . - Regra prática (regra do poder/potência) para derivar monômios: se
então , onde e são constantes. Exemplo simples: derivada de é ; derivada de é .
Passo 3
Aplicando a definição e a regra da potência para encontrar a função velocidade:
Derivar termo a termo a função .
Derivar termo a termo a função
- Derivada de
é (pois é e ). - Derivada de
é .
Portanto, isoladamente:
Observação de unidades: como
está em metros e
em segundos,
tem unidades
.
Passo 4
Velocidade inicial
é a velocidade no instante
. Avaliamos
em
:
Logo
. Interpretação: o sinal positivo significa que, no lançamento, a bola está se movendo para cima (tomando para cima o sentido positivo).
Passo 5
Velocidade em
: substituímos
em
.
Calculo passo a passo:
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
. Interpretação: o sinal negativo indica que, nesse instante, a bola está se movendo para baixo (ou seja, já passou do ponto de subida máxima).
Passo 6
Aceleração: derivamos a função velocidade para obter a aceleração:
Portanto a aceleração é constante e vale
. Interpretação física: é a aceleração da gravidade (valor negativo porque foi adotado o sentido positivo para cima).