Seja a função
, usando a definição da limite de uma função em
, calcular a sua derivada primeira.
Mesma questão para a função
.
Mesma questão para a função
Mesma questão para a função
Calcular as primitivas seguintes:
Mesma questão para a função
Mesma questão para a função
Mesma questão para a função
Calcular as primitivas seguintes:
Passo 1
O enunciado dá várias funções e pede derivadas (usando a definição de limite) e várias integrais (primitivas). Especificando o que está dado e o que precisa ser calculado:
-
Calcular a derivada primeira, pela definição de limite, de cada uma das funções:
-
-
Calcular as primitivas (antiderivadas) das seguintes funções:
Passo 2
Vou lembrar a definição de derivada (essa é a regra que o enunciado pede explicitamente): para uma função
a derivada em um ponto
é
O que isso significa, em palavras simples: pega-se o quociente incremental
(a razão do aumento da função pelo aumento da variável), simplifica-se algebraicamente para poder cancelar um fator
e então toma-se o limite quando
vai a zero. Nas contas abaixo vou sempre escrever
, fatorar
quando possível, dividir por
e depois fazer o limite
. Quando aparecer potência de
vou usar a expansão necessária (binomial ou fórmulas de soma) para expor os termos em potências de
.
Passo 3
Derivada de
pela definição.
Calcular
:
Fatorando
:
Dividindo por
:
Tomando o limite
:
Portanto a derivada é
. Explicação rápida: os termos que têm fator
vão desaparecer ao fazer
, restando apenas os termos independentes de
.
Passo 4
Derivada de
pela definição.
Calcular
:
Dividindo por
:
Tomando o limite
:
Interpretação: função linear tem derivada constante igual ao coeficiente angular.
Passo 5
Derivada de
pela definição (note a variável
).
Calcular
. Usar a expansão do cubo:
. Assim
Dividindo por
:
Tomando
:
Comentário: os termos com
somem no limite; fica a soma das derivadas termo a termo.
Passo 6
Derivada de
pela definição.
Calcular
:
Dividindo por
:
Tomando
:
Passo 7
Agora as primitivas (antiderivadas). Conceito e regra prática: uma primitiva
de uma função
satisfaz
. A regra mais útil aqui é a regra da potência: para
,
onde
é a constante de integração. Por que funciona? Porque ao derivar
usa-se a regra da potência da derivada e recupera-se
. Para integrais com soma de termos, integra-se termo a termo; constantes multiplicativas saem da integral.
Passo 8
Integral
e
.
- Para
, aqui . Aplicando a regra da potência:
- Para
, aqui . Soma com 1 dá . Então
Passo 9
Integral
e
.
- Para
, . Então e
- Para
: isso é . Uma primitiva de é :
Passo 10
Integral
e
.
- Para
, . Então e
- Para
, fatorando a constante e usando a regra da potência ( ):
Passo 11
Integral
.
Primeiro escrever tudo como potência:
. Então o integrando é
Calcule o expoente:
Portanto integrando é
. Aplicando a regra da potência com
:
Passo 12
Integral
.
Integra-se termo a termo:
- Para o primeiro termo,
: , . Então
- Para o segundo termo,
: , então
Somando e adicionando
: