Seja a função f(x)=3 x^{2}+4 x-7, usando a definição da limite de uma função em x, calcular a sua derivada primeira.
Mesma questão para a função f(x)=5 x-1.
Mesma questão para a função F(\omega)=-7 \omega^{3}-2 \omega-1
Mesma questão para a função f(t)=5 t^{2}-2
Calcular as primitivas seguintes:
\int x^{3} d x, \quad \int x^{2 / 3} d x, \quad \int \omega^{-4 / 9} d \omega, \quad \int d t, \quad \int x^{-8} d x, \quad \int 7 t^{4} d t, \quad \int \frac{x^{2 / 3}}{\sqrt[5]{x}} d x, \quad \int\left(\frac{2}{3} x^{1 / 5}-8 x^{12}\right) d x

Passo 1

O enunciado dá várias funções e pede derivadas (usando a definição de limite) e várias integrais (primitivas). Especificando o que está dado e o que precisa ser calculado:
  • Calcular a derivada primeira, pela definição de limite, de cada uma das funções:
    • f(x)=3 x^{2}+4 x-7
    • f(x)=5 x-1
    • F(\omega)=-7 \omega^{3}-2 \omega-1
    • f(t)=5 t^{2}-2
  • Calcular as primitivas (antiderivadas) das seguintes funções:
    \int x^{3} d x,\quad \int x^{2 / 3} d x,\quad \int \omega^{-4 / 9} d \omega,\quad \int d t,\quad \int x^{-8} d x,
\int 7 t^{4} d t,\quad \int \frac{x^{2 / 3}}{\sqrt[5]{x}} d x,\quad \int\left(\frac{2}{3} x^{1 / 5}-8 x^{12}\right) d x

Passo 2

Vou lembrar a definição de derivada (essa é a regra que o enunciado pede explicitamente): para uma função g a derivada em um ponto x é
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}.
O que isso significa, em palavras simples: pega-se o quociente incremental \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} (a razão do aumento da função pelo aumento da variável), simplifica-se algebraicamente para poder cancelar um fator h e então toma-se o limite quando h vai a zero. Nas contas abaixo vou sempre escrever g(x+h)-g(x), fatorar h quando possível, dividir por h e depois fazer o limite h\to0. Quando aparecer potência de (x+h)^n vou usar a expansão necessária (binomial ou fórmulas de soma) para expor os termos em potências de h.

Passo 3

Derivada de f(x)=3 x^{2}+4 x-7 pela definição.
Calcular f(x+h)-f(x):
\begin{aligned} f(x+h)-f(x) &=3(x+h)^{2}+4(x+h)-7-(3x^{2}+4x-7)\\\ &=3(x^{2}+2xh+h^{2})+4x+4h-7-3x^{2}-4x+7\\\ &=6xh+3h^{2}+4h. \end{aligned}
Fatorando h:
f(x+h)-f(x)=h(6x+3h+4).
Dividindo por h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=6x+3h+4.
Tomando o limite h\to0:
f'(x)=\lim_{h\to0}(6x+3h+4)=6x+4.
Portanto a derivada é 6x+4. Explicação rápida: os termos que têm fator h vão desaparecer ao fazer h\to0, restando apenas os termos independentes de h.

Passo 4

Derivada de f(x)=5 x-1 pela definição.
Calcular f(x+h)-f(x):
f(x+h)-f(x)=5(x+h)-1-(5x-1)=5h.
Dividindo por h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=5.
Tomando o limite h\to0:
f'(x)=5.
Interpretação: função linear tem derivada constante igual ao coeficiente angular.

Passo 5

Derivada de F(\omega)=-7 \omega^{3}-2 \omega-1 pela definição (note a variável \omega).
Calcular F(\omega+h)-F(\omega). Usar a expansão do cubo:
(\omega+h)^{3}=\omega^{3}+3\omega^{2}h+3\omega h^{2}+h^{3}. Assim
\begin{aligned} F(\omega+h)-F(\omega) &=-7[(\omega+h)^{3}-\omega^{3}]-2[(\omega+h)-\omega]\\\ &=-7(3\omega^{2}h+3\omega h^{2}+h^{3})-2h\\\ &=h(-21\omega^{2}-21\omega h-7h^{2}-2). \end{aligned}
Dividindo por h:
\frac{F(\omega+h)-F(\omega)}{h}=-21\omega^{2}-21\omega h-7h^{2}-2.
Tomando h\to0:
F'(\omega)=-21\omega^{2}-2.
Comentário: os termos com h somem no limite; fica a soma das derivadas termo a termo.

Passo 6

Derivada de f(t)=5 t^{2}-2 pela definição.
Calcular f(t+h)-f(t):
f(t+h)-f(t)=5[(t+h)^{2}-t^{2}]=5(2th+h^{2})=h(10t+5h).
Dividindo por h:
\frac{f(t+h)-f(t)}{h}=10t+5h.
Tomando h\to0:
f'(t)=10t.

Passo 7

Agora as primitivas (antiderivadas). Conceito e regra prática: uma primitiva G de uma função g satisfaz G'(x)=g(x). A regra mais útil aqui é a regra da potência: para n\neq-1,
\int x^{n} dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Por que funciona? Porque ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1} usa-se a regra da potência da derivada e recupera-se x^{n}. Para integrais com soma de termos, integra-se termo a termo; constantes multiplicativas saem da integral.

Passo 8

Integral \int x^{3} dx e \int x^{2/3} dx.
  • Para \int x^{3} dx, aqui n=3. Aplicando a regra da potência:
\int x^{3} dx=\frac{x^{4}}{4}+C.
  • Para \int x^{2/3} dx, aqui n=\tfrac{2}{3}. Soma com 1 dá n+1=\tfrac{5}{3}. Então
\int x^{2/3} dx=\frac{x^{5/3}}{5/3}+C=\frac{3}{5}x^{5/3}+C.

Passo 9

Integral \int \omega^{-4/9} d\omega e \int d t.
  • Para \int \omega^{-4/9} d\omega, n=-\tfrac{4}{9}. Então n+1=\tfrac{5}{9} e
\int \omega^{-4/9} d\omega=\frac{\omega^{5/9}}{5/9}+C=\frac{9}{5}\omega^{5/9}+C.
  • Para \int d t: isso é \int 1\,dt. Uma primitiva de 1 é t:
\int d t = t + C.

Passo 10

Integral \int x^{-8} dx e \int 7 t^{4} d t.
  • Para \int x^{-8} dx, n=-8. Então n+1=-7 e
\int x^{-8} dx=\frac{x^{-7}}{-7}+C=-\frac{1}{7}x^{-7}+C.
  • Para \int 7 t^{4} dt, fatorando a constante 7 e usando a regra da potência ( n=4):
\int 7 t^{4} dt=7\cdot\frac{t^{5}}{5}+C=\frac{7}{5}t^{5}+C.

Passo 11

Integral \int \frac{x^{2/3}}{\sqrt[5]{x}} d x.
Primeiro escrever tudo como potência: \sqrt[5]{x}=x^{1/5}. Então o integrando é
\frac{x^{2/3}}{\sqrt[5]{x}}=x^{2/3-1/5}.
Calcule o expoente:
\frac{2}{3}-\frac{1}{5}=\frac{10}{15}-\frac{3}{15}=\frac{7}{15}.
Portanto integrando é x^{7/15}. Aplicando a regra da potência com n=\tfrac{7}{15}:
\int x^{7/15} dx=\frac{x^{7/15+1}}{7/15+1}+C=\frac{x^{22/15}}{22/15}+C=\frac{15}{22}x^{22/15}+C.

Passo 12

Integral \int\left(\frac{2}{3} x^{1 / 5}-8 x^{12}\right) d x.
Integra-se termo a termo:
  • Para o primeiro termo, \frac{2}{3}x^{1/5}: n=\tfrac{1}{5}, n+1=\tfrac{6}{5}. Então
\int \frac{2}{3}x^{1/5} dx=\frac{2}{3}\cdot\frac{x^{6/5}}{6/5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{6}x^{6/5}=\frac{5}{9}x^{6/5}.
  • Para o segundo termo, -8x^{12}: n=12, então
\int -8x^{12} dx=-8\cdot\frac{x^{13}}{13}=-\frac{8}{13}x^{13}.
Somando e adicionando C:
\int\left(\frac{2}{3} x^{1 / 5}-8 x^{12}\right) d x=\frac{5}{9}x^{6/5}-\frac{8}{13}x^{13}+C.

Resposta

f'(x)=6x+4
f'(x)=5
F'(\omega)=-21\omega^{2}-2
f'(t)=10t
\displaystyle \int x^{3} dx=\frac{x^{4}}{4}+C
\displaystyle \int x^{2/3} dx=\frac{3}{5}x^{5/3}+C
\displaystyle \int \omega^{-4/9} d\omega=\frac{9}{5}\omega^{5/9}+C
\displaystyle \int d t=t+C
\displaystyle \int x^{-8} dx=-\frac{1}{7}x^{-7}+C
\displaystyle \int 7 t^{4} dt=\frac{7}{5}t^{5}+C
\displaystyle \int \frac{x^{2/3}}{\sqrt[5]{x}} dx=\frac{15}{22}x^{22/15}+C
\displaystyle \int\left(\frac{2}{3} x^{1/5}-8 x^{12}\right) dx=\frac{5}{9}x^{6/5}-\frac{8}{13}x^{13}+C

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