A posição de um corpo varia segundo a equação x=50 \mathrm{~m}+10 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} \cdot t+1,0 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{3}} \cdot(t-2,0 \mathrm{~s})^{3}. Qual é a velocidade do corpo em t=2,0 \mathrm{~s}?

Passo 1

O enunciado dá a posição do corpo em função do tempo segundo
x = 50\,\mathrm{m} + 10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\,t + 1{,}0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^3}\,(t - 2{,}0\,\mathrm{s})^3
e pede a velocidade em t = 2{,}0\,\mathrm{s}. O conteúdo envolvido é cálculo de derivada de funções polinomiais.

Passo 2

A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t) = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[50 + 10\,t + 1{,}0\,(t - 2{,}0)^3\Bigr].
Derivando termo a termo:
  • \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(50)=0.
  • \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(10\,t)=10.
  • \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[1{,}0\,(t - 2{,}0)^3\bigr] =1{,}0\cdot 3\,(t - 2{,}0)^2=3\,(t - 2{,}0)^2.
    Logo,
v(t) = 10 + 3\,(t - 2{,}0)^2\quad\bigl[\mathrm{m/s}\bigr].

Passo 3

Em t=2{,}0\,\mathrm{s} temos t-2{,}0=0. Substituindo:
v(2{,}0) = 10 + 3\cdot 0^2 = 10\quad\mathrm{m/s}.

Resposta

A velocidade do corpo em t=2{,}0\,\mathrm{s} é 10\\ \mathrm{m/s}.

Exercícios relacionados