(2p) Determinou-se, experimentalmente, que o campo elétrico numa certa região da atmosfera terrestre está dirigido verticalmente para baixo. Numa altitude de 400 m o campo tem intensidade de 20 \mathrm{~N} / \mathrm{C} enquanto que a 200 m o campo vale 100 \mathrm{~N} / \mathrm{C}. Determine a carga líquida contida num cilindro reto de raio 100 m e de 200 m de altura, com as faces horizontais nas altitudes de 200 e 400 m . Despreze a curvatura da Terra.

Passo 1

O enunciado dá um campo elétrico verticalmente para baixo que vale E_1=20,N/C a 400 m e E_2=100,N/C a 200 m de altitude. Queremos a carga líquida num cilindro de raio R=100,m e altura h=200,m cujas bases estão nessas altitudes. O conteúdo é usar a Lei de Gauss para um campo não uniforme em z.

Passo 2

Escolhemos como superfície gaussiana o próprio cilindro. A face lateral não contribui porque o campo é vertical e a normal da lateral é horizontal ( E\perp dA na lateral). Só as duas bases horizontais geram fluxo:
– na base superior (altitude 400 m), a normal está para cima;
– na base inferior (altitude 200 m), a normal está para baixo.

Passo 3

Área de cada base:
A = \pi R^2 = \pi\,(100)^2 = 10000\pi\\ \mathrm{m}^2.
Fluxo na base superior (normal para cima, campo para baixo):
\Phi_{\rm sup} = \int E_1\,\cos(180^\circ)\,dA = -E_1\,A = -20\cdot10000\pi.
Fluxo na base inferior (normal para baixo, campo também para baixo):
\Phi_{\rm inf} = \int E_2\,\cos(0^\circ)\,dA = +E_2\,A = +100\cdot10000\pi.
Fluxo total pelo cilindro:
\Phi = \Phi_{\rm sup} + \Phi_{\rm inf} = (100 - 20)\,10000\pi = 80\cdot10000\pi.

Passo 4

Pela Lei de Gauss:
Q_{\rm int} = \varepsilon_0\,\Phi = \varepsilon_0 \times 80\cdot10000\pi = 8\times10^5\pi\,\varepsilon_0\\ \mathrm{C}.
Numericamente, com \varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12},F/m,
Q_{\rm int}\approx 8\times10^5\pi\times 8{,}85\times10^{-12} \approx 2{,}2\times10^{-5}\\ \mathrm{C}.

Resposta

A carga líquida contida no cilindro é
Q \approx 2{,}2\times10^{-5}\\ \mathrm{C}.

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