A posição de um elétron é dada por \mathbf{r}=(3,00 t) \mathbf{i}-(4,00 t) \mathbf{j}+(2,00) \mathbf{k}; com t em segundos e r em metros. (a) Qual é a velocidade v(t) do elétron na notação de vetores unitários? Quanto vale \mathbf{v}(\mathbf{t}) no instante t=2,00 \mathrm{~s}(\mathrm{~b}) na notação de vetores unitários e como (c) um módulo e (d) um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x ?

Passo 1

O enunciado dá a posição do elétron
\mathbf{r}(t) = (3,00\,t)\,\mathbf{i} \;-\;(4,00\,t)\,\mathbf{j}\;+\;(2,00)\,\mathbf{k},
com t em segundos e \mathbf r em metros. Pede-se (a) a velocidade \mathbf v(t) em notação de vetores unitários; em t=2{,}00\:\mathrm s (b) a mesma notação, (c) o módulo de \mathbf v e (d) o ângulo que \mathbf v faz com o eixo x. Vamos usar derivada para obter velocidade, fórmula de norma de vetor e definição de arco-tangente para o ângulo.

Passo 2

A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
\mathbf v(t) = \frac{d\mathbf r}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(3,00\,t\bigr)\,\mathbf{i} - \frac{d}{dt}\bigl(4,00\,t\bigr)\,\mathbf{j} + \frac{d}{dt}(2,00)\,\mathbf{k}.
Derivando cada termo:
\mathbf v(t) = 3,00\,\mathbf{i} \;-\;4,00\,\mathbf{j} \;+\;0\,\mathbf{k} = 3,00\,\mathbf{i} - 4,00\,\mathbf{j}.

Passo 3

Em t=2,00\:\mathrm s a velocidade é constante, logo
\mathbf v(2,00\,\mathrm s) = 3,00\,\mathbf{i} - 4,00\,\mathbf{j}\quad(\mathrm{m/s}).

Passo 4

O módulo de \mathbf v é
|\mathbf v| = \sqrt{(3,00)^2 + (-4,00)^2} = \sqrt{9,00 + 16,00} = \sqrt{25,00} = 5,00\:\mathrm{m/s}.

Passo 5

O ângulo \theta que \mathbf v faz com o eixo x mede-se por
\theta = \arctan\!\biggl(\frac{v_y}{v_x}\biggr) = \arctan\!\biggl(\frac{-4,00}{3,00}\biggr) \approx -53,13^\circ.
Isto significa que \mathbf v está 53{,}13^\circ abaixo do sentido positivo de x.

Resposta

(a) \mathbf{v}(t) = 3,00\,\mathbf{i} - 4,00\,\mathbf{j}.\n (b) \mathbf{v}(2,00\,\mathrm{s}) = 3,00\,\mathbf{i} - 4,00\,\mathbf{j},\mathrm{m/s}.\n (c) |\mathbf{v}| = 5,00,\mathrm{m/s}.\n (d) \theta = -53,13^\circ (isto é, 53{,}13^\circ abaixo do eixo x).

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