1. A posição de um elétron que se move ao longo do eixo x é dada por x(t)=16 t e^{-t}, já no SI. A que distância da origem se encontra o elétron quando para momentaneamente?

Passo 1

O enunciado dá a posição do elétron em função do tempo, em unidades SI:
x(t)=16\,t\,e^{-t}.
A pergunta é: “A que distância da origem se encontra o elétron quando para momentaneamente?”
Informações relevantes:
  • A função posição x(t) está dada para t (tempo) em segundos e x em metros.
  • “Para momentaneamente” significa que a velocidade instantânea é zero naquele instante.
  • Queremos encontrar o valor de x no instante em que a velocidade é zero.

Passo 2

Conceito importante: a velocidade instantânea v(t) é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja,
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Quando o elétron “para momentaneamente” temos v(t)=0. Portanto o plano é:
  1. Calcular v(t) derivando x(t).
  2. Resolver v(t)=0 para obter o instante t em que ele para.
  3. Avaliar x(t) nesse instante para obter a distância da origem.

Passo 3

Derivando x(t)=16\,t\,e^{-t}. Usamos a regra do produto: se u(t)=t e w(t)=e^{-t}, então
\frac{d}{dt}\big(u\,w\big)=u'\,w + u\,w'.
Aqui u'(t)=1 e w'(t)=-e^{-t}. Portanto
\frac{d}{dt}\big(t\,e^{-t}\big)=1\cdot e^{-t} + t\cdot(-e^{-t})=(1-t)\,e^{-t}.
Multiplicando pelo constante 16, obtemos a velocidade:
v(t)=\frac{dx}{dt}=16\,(1-t)\,e^{-t}.

Passo 4

Agora impomos v(t)=0:
16\,(1-t)\,e^{-t}=0.
Análise dos fatores:
  • 16 é constante não nula.
  • e^{-t} nunca é zero para qualquer t real.
    Logo o único fator que pode anular a expressão é 1-t. Assim
1-t=0 \quad\Rightarrow\quad t=1\\ \text{s}.
Portanto o elétron para momentaneamente no instante t=1\\ \text{s}.

Passo 5

Calculamos a posição nesse instante substituindo t=1 em x(t):
x(1)=16\cdot 1\cdot e^{-1}=\frac{16}{e}\\ \mathrm{m}.
Para ter uma ideia numérica, usando e\approx 2{,}7182818,
\frac{16}{e}\approx 5{,}89\\ \mathrm{m}.
Como x(1)>0, a distância da origem é simplesmente esse valor.

Resposta

\dfrac{16}{e}\\ \mathrm{m}\approx 5{,}89\\ \mathrm{m}

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