Em cada vértice de um quadrado de lado
, existe uma carga
. Determine o módulo da força elétrica resultante sobre qualquer uma das quatro cargas em função do comprimento do lado do quadrado, de
e
. Resposta:
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Há um quadrado de lado
. - Em cada um dos quatro vértices existe uma carga elétrica igual a
. - Pede-se o módulo da força elétrica resultante sobre qualquer uma das quatro cargas, em função de
, e .
Dados relevantes extraídos do enunciado:
- Distâncias entre cargas vizinhas:
. - Distância entre cargas opostas (diagonal):
. - Constante eletrostática:
(pode-se usar ou ).
A partir daqui vou calcular a força resultante sobre uma das cargas, passo a passo, explicando a física e a álgebra envolvidas.
Passo 2
Escolher uma carga para analisar e fixar um sistema de referências (isso facilita decompor as forças).
- Seja a carga de interesse a situada no vértice inferior esquerdo do quadrado. Coloca-se o eixo
para a direita e o eixo para cima. - As outras três cargas estão:
- Uma no vértice inferior direito: a uma distância
ao longo do eixo . - Uma no vértice superior esquerdo: a uma distância
ao longo do eixo . - Uma no vértice superior direito: a uma distância
ao longo da diagonal que faz com os eixos.
- Uma no vértice inferior direito: a uma distância
Assim temos três forças eletrostáticas atuando sobre a carga escolhida, todas de repulsão (mesmo sinal
), e devemos somá-las vetorialmente.
Passo 3
Relembrando a lei de Coulomb (a fórmulas básica que aplica aqui) e como usá-la:
- A magnitude da força elétrica entre duas cargas puntiformes
e separadas por distância é dada por
onde
.
- A direção da força é ao longo da linha que une as cargas; para cargas de mesmo sinal, a força é de repulsão (afasta as cargas).
- Para somar forças vetorialmente, decompõe-se cada força em componentes
e e soma-se componente a componente.
Vou aplicar essa fórmula para cada uma das três cargas que atuam sobre a carga escolhida.
Passo 4
Calcular as magnitudes das forças individuais:
- Força devido à carga do vértice inferior direito (distância
):
- Força devido à carga do vértice superior esquerdo (distância
):
(ambas têm módulo
, uma aponta para a direita e outra para cima)
- Força devido à carga do vértice superior direito (distância
ao longo da diagonal):
Passo 5
Decompor vetorialmente as forças e somar componentes.
- A força da carga à direita é inteiramente ao longo de
: componente igual a , componente igual a . - A força da carga acima é inteiramente ao longo de
: componente igual a , componente igual a . - A força do canto diagonal aponta na direção
(nordeste), então suas componentes são iguais em e . Usando , obtemos: - componente
do diagonal: , - componente
do diagonal: .
- componente
Agora somamos as componentes totais:
Note que
por simetria.
Passo 6
Calcular o módulo da força resultante usando as componentes.
- Quando
, o módulo do vetor resultante é
- Substituindo
:
Passo 7
Substituir
e
pelas expressões obtidas em termos de
,
e
:
-
. -
.
Logo
Se quiser escrever em termos de
, basta usar
, obtendo
Passo 8
Resumo final e incentivo: chegamos ao resultado combinando a lei de Coulomb com decomposição vetorial simples. Se na prova pedirem para justificar, escreva claramente as forças individuais, suas direções, calcule componentes e aplique o teorema de Pitágoras para o resultante — é uma solução direta e rápida. Força extra: você já entendeu a técnica de decompor e somar componentes, que cai bastante em exercícios de eletrostática — manda ver!