Em cada vértice de um quadrado de lado a, existe uma carga q. Determine o módulo da força elétrica resultante sobre qualquer uma das quatro cargas em função do comprimento do lado do quadrado, de q e \epsilon_{0}. Resposta: F=k q^{2}(\sqrt{2}+1 / 2) / a^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Há um quadrado de lado a.
  • Em cada um dos quatro vértices existe uma carga elétrica igual a q.
  • Pede-se o módulo da força elétrica resultante sobre qualquer uma das quatro cargas, em função de a, q e \epsilon_0.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • Distâncias entre cargas vizinhas: a.
  • Distância entre cargas opostas (diagonal): a\sqrt{2}.
  • Constante eletrostática: k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} (pode-se usar k ou \epsilon_0).
A partir daqui vou calcular a força resultante sobre uma das cargas, passo a passo, explicando a física e a álgebra envolvidas.

Passo 2

Escolher uma carga para analisar e fixar um sistema de referências (isso facilita decompor as forças).
  • Seja a carga de interesse a situada no vértice inferior esquerdo do quadrado. Coloca-se o eixo x para a direita e o eixo y para cima.
  • As outras três cargas estão:
    • Uma no vértice inferior direito: a uma distância a ao longo do eixo x.
    • Uma no vértice superior esquerdo: a uma distância a ao longo do eixo y.
    • Uma no vértice superior direito: a uma distância a\sqrt{2} ao longo da diagonal que faz 45^\circ com os eixos.
Assim temos três forças eletrostáticas atuando sobre a carga escolhida, todas de repulsão (mesmo sinal q), e devemos somá-las vetorialmente.

Passo 3

Relembrando a lei de Coulomb (a fórmulas básica que aplica aqui) e como usá-la:
  • A magnitude da força elétrica entre duas cargas puntiformes q_1 e q_2 separadas por distância r é dada por
F = k\,\frac{|q_1 q_2|}{r^2},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}.
  • A direção da força é ao longo da linha que une as cargas; para cargas de mesmo sinal, a força é de repulsão (afasta as cargas).
  • Para somar forças vetorialmente, decompõe-se cada força em componentes x e y e soma-se componente a componente.
Vou aplicar essa fórmula para cada uma das três cargas que atuam sobre a carga escolhida.

Passo 4

Calcular as magnitudes das forças individuais:
  • Força devido à carga do vértice inferior direito (distância a):
F_a = k\,\frac{q^2}{a^2}.
  • Força devido à carga do vértice superior esquerdo (distância a):
F_a \;\text{(mesmo valor)} = k\,\frac{q^2}{a^2}.
(ambas têm módulo F_a, uma aponta para a direita e outra para cima)
  • Força devido à carga do vértice superior direito (distância a\sqrt{2} ao longo da diagonal):
F_d = k\,\frac{q^2}{(a\sqrt{2})^2} = k\,\frac{q^2}{2a^2}.

Passo 5

Decompor vetorialmente as forças e somar componentes.
  • A força da carga à direita é inteiramente ao longo de +x: componente x igual a F_a, componente y igual a 0.
  • A força da carga acima é inteiramente ao longo de +y: componente y igual a F_a, componente x igual a 0.
  • A força do canto diagonal aponta na direção 45^\circ (nordeste), então suas componentes são iguais em x e y. Usando \cos 45^\circ=\sin 45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, obtemos:
    • componente x do diagonal: F_d\cos 45^\circ = \dfrac{F_d}{\sqrt{2}},
    • componente y do diagonal: F_d\cos 45^\circ = \dfrac{F_d}{\sqrt{2}}.
Agora somamos as componentes totais:
F_x = F_a + \frac{F_d}{\sqrt{2}}, \qquad F_y = F_a + \frac{F_d}{\sqrt{2}}.
Note que F_x=F_y por simetria.

Passo 6

Calcular o módulo da força resultante usando as componentes.
  • Quando F_x=F_y, o módulo F do vetor resultante é
F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{2}\,F_x.
  • Substituindo F_x:
F = \sqrt{2}\!\left(F_a + \frac{F_d}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2}\,F_a + F_d.

Passo 7

Substituir F_a e F_d pelas expressões obtidas em termos de k, q e a:
  • F_a = k\,\dfrac{q^2}{a^2}.
  • F_d = k\,\dfrac{q^2}{2a^2}.
Logo
F = \sqrt{2}\,k\frac{q^2}{a^2} + k\frac{q^2}{2a^2} = k\frac{q^2}{a^2}\!\left(\sqrt{2} + \tfrac{1}{2}\right).
Se quiser escrever em termos de \epsilon_0, basta usar k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}, obtendo
F = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0\,a^2}\!\left(\sqrt{2} + \tfrac{1}{2}\right).

Passo 8

Resumo final e incentivo: chegamos ao resultado combinando a lei de Coulomb com decomposição vetorial simples. Se na prova pedirem para justificar, escreva claramente as forças individuais, suas direções, calcule componentes e aplique o teorema de Pitágoras para o resultante — é uma solução direta e rápida. Força extra: você já entendeu a técnica de decompor e somar componentes, que cai bastante em exercícios de eletrostática — manda ver!

Resposta

F = k\frac{q^{2}}{a^{2}}\!\left(\sqrt{2} + \tfrac{1}{2}\right)
F = \dfrac{q^{2}}{4\pi\epsilon_{0}\,a^{2}}\!\left(\sqrt{2} + \tfrac{1}{2}\right)

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