1. Você dirige do Rio a São Paulo metade do tempo a 55 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e a outra metade a 90 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Na volta, você viaja metade da distância a 55 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e a outra metade a 90 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Qual é a velocidade escalar média (a) na viagem do Rio a São Paulo, (b) na viagem de São Paulo ao Rio, e (c) na viagem inteira? (d) Qual é a velocidade média na viagem inteira? (e) Plote o gráfico de x em função de t para o item (a), supondo que o movimento ocorre no sentido positivo de x.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as perguntas listadas abaixo.
Informações fornecidas:
  • Velocidades: \,v_1=55\\ \mathrm{km/h}\, e \,v_2=90\\ \mathrm{km/h}\,.
  • Ida (Rio \to São Paulo): metade do tempo a \,v_1\, e a outra metade do tempo a \,v_2\,.
  • Volta (São Paulo \to Rio): metade da distância a \,v_1\, e a outra metade da distância a \,v_2\,.
  • No item (e) supõe-se que o movimento do item (a) ocorre no sentido positivo de x.
Perguntas pedidas:
(a) Qual é a velocidade escalar média na viagem do Rio a São Paulo?
(b) Qual é a velocidade escalar média na viagem de São Paulo ao Rio?
(c) Qual é a velocidade escalar média na viagem inteira (ida + volta)?
(d) Qual é a velocidade média (vetorial) na viagem inteira?
(e) Plote (descreva) o gráfico de x em função de t para o item (a), assumindo x positivo no sentido do movimento.

Passo 2

Conceitos essenciais (muito importantes para a prova) — o que é “velocidade escalar média” e “velocidade média (vetorial)”:
  • Definição de velocidade escalar média (ou simplesmente “velocidade média” usada em contexto de distância):
\text{velocidade escalar média} = v_{\mathrm{m}}=\frac{\text{distância total percorrida}}{\text{tempo total gasto}}.éâ
Aqui a “distância total” é a soma das distâncias efetivamente percorridas, sem considerar direção.
  • Definição de velocidade média vetorial (às vezes chamada apenas “velocidade média” em física vetorial):
\vec{v}_{\mathrm{m}}=\frac{\text{deslocamento total}}{\text{tempo total}}.
O deslocamento total é a diferença vetorial entre posição final e inicial; para ida e volta exatamente sobre a mesma linha, o deslocamento pode ser zero.
  • Casos úteis para lembrar:
    • Se se anda a duas velocidades \,v_1 e \,v_2 durante tempos iguais, a velocidade escalar média é a média aritmética:
    v_{\mathrm{m}}=\frac{v_1+v_2}{2},porque distâncias percorridas são v_1(t/2) e v_2(t/2) e o tempo total é t.
    • Se se percorre metades iguais da distância com velocidades \,v_1 e \,v_2, a velocidade escalar média é a média harmônica (para duas parcelas iguais de distância):
    v_{\mathrm{m}}=\frac{2}{\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2},porque os tempos são \frac{d/2}{v_1} e \frac{d/2}{v_2}.
Esses fatos serão usados diretamente nos itens (a) e (b). Para o item (c) vamos combinar tempos e distâncias dos dois trechos; para (d) observaremos o deslocamento total.

Passo 3

Item (a): velocidade escalar média na viagem do Rio a São Paulo (metade do tempo a \,55\\ \mathrm{km/h} e metade do tempo a \,90\\ \mathrm{km/h}).
Explicação didática: quando as duas velocidades ocorrem durante tempos iguais, a velocidade média é a média aritmética das velocidades (ver motivo no passo 2). Aplicando:
v_{\mathrm{m, ida}}=\frac{v_1+v_2}{2}=\frac{55+90}{2}.
Cálculo:
v_{\mathrm{m, ida}}=\frac{145}{2}=72{,}5\\ \mathrm{km/h}.

Passo 4

Item (b): velocidade escalar média na viagem de São Paulo ao Rio (metade da distância a \,55\\ \mathrm{km/h} e metade da distância a \,90\\ \mathrm{km/h}).
Explicação didática: quando as duas parcelas correspondem a metades iguais da distância, usa-se a média harmônica. Derivação curta: para distância total D, cada metade tem D/2; os tempos são t_1=\dfrac{D/2}{v_1} e t_2=\dfrac{D/2}{v_2}. O tempo total é
t_{\mathrm{tot}}=\frac{D}{2}\!\left(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}\right).
Assim a velocidade média é
v_{\mathrm{m, volta}}=\frac{D}{t_{\mathrm{tot}}}=\frac{D}{\dfrac{D}{2}\!\left(\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}\right)}=\frac{2}{\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}.
Aplicando v_1=55 e v_2=90:
v_{\mathrm{m, volta}}=\frac{2\cdot 55\cdot 90}{55+90}=\frac{9900}{145}\approx68{,}28\\ \mathrm{km/h}.

Passo 5

Item (c): velocidade escalar média na viagem inteira (ida + volta), isto é, considerando a distância total percorrida (ida + volta) e o tempo total gasto.
Vamos fazer de forma geral e limpa usando a distância entre as cidades S (uma incógnita que vai se cancelar no resultado).
  • Ida: por hipótese, a ida levou um tempo T tal que a metade do tempo foi a 55 e a outra metade a 90. A distância ida =S pode ser escrita em função de T:
S=\frac{T}{2}\cdot 55+\frac{T}{2}\cdot 90=\frac{T}{2}(55+90)=\frac{145}{2}T.
Assim o tempo da ida é
T_{\mathrm{ida}}=T=\frac{2S}{145}.
  • Volta: metade da distância S/2 a 55 e metade S/2 a 90. O tempo da volta é
T_{\mathrm{volta}}=\frac{S/2}{55}+\frac{S/2}{90}=\frac{S}{2}\!\left(\frac{1}{55}+\frac{1}{90}\right)=S\cdot\frac{145}{9900}.
  • Tempo total (ida + volta):
T_{\mathrm{total}}=T_{\mathrm{ida}}+T_{\mathrm{volta}}=\frac{2S}{145}+S\cdot\frac{145}{9900}=S\left(\frac{2}{145}+\frac{145}{9900}\right).
  • Distância total percorrida =2S. Logo a velocidade escalar média total é
v_{\mathrm{m, total}}=\frac{2S}{T_{\mathrm{total}}} = \frac{2S}{S\left(\dfrac{2}{145}+\dfrac{145}{9900}\right)} = \frac{2}{\dfrac{2}{145}+\dfrac{145}{9900}}.
Agora fazemos o cálculo numérico:
v_{\mathrm{m, total}}=\frac{2\cdot 145\cdot 9900}{19800+21025}=\frac{2\cdot 145\cdot 9900}{40825}.
Valor numérico aproximado:
v_{\mathrm{m, total}}\approx70{,}33\\ \mathrm{km/h}.
Comentário intuitivo: o valor fica entre a média aritmética da ida ( 72{,}5) e a média harmônica da volta ( \approx68{,}28), e reflete o peso relativo dos tempos gastos em cada trecho.

Passo 6

Item (d): velocidade média vetorial na viagem inteira (ida + volta).
Definição (relembrando): velocidade média vetorial é deslocamento total dividido pelo tempo total:
\vec{v}_{\mathrm{m}}=\frac{\Delta \vec{x}}{\Delta t}.
Para um percurso ida e volta sobre a mesma linha, a posição final coincide com a inicial, então o deslocamento total é zero:
\Delta \vec{x}=0 \quad\Rightarrow\quad \vec{v}_{\mathrm{m}}=\vec{0}.
Em módulo isso significa velocidade média vetorial igual a 0\\ \mathrm{km/h}.

Passo 7

Item (e): gráfico de x em função de t para o item (a), assumindo movimento no sentido positivo de x.
Vamos construir a função peça a peça. Tome o tempo total da ida como T. Para 0\le t\le T/2 você viaja com velocidade v_1=55, e para T/2\le t\le T com v_2=90. Escolhendo origem x(0)=0 (Rio), temos:
  • Para 0\le t\le T/2:
x(t)=55\,t.
  • No instante t=T/2 a posição é
x\!\left(\frac{T}{2}\right)=55\cdot\frac{T}{2}=\frac{55T}{2}.
  • Para \frac{T}{2}\le t\le T, mantendo continuidade:
x(t)=\frac{55T}{2}+90\left(t-\frac{T}{2}\right).
Também pode-se eliminar T em favor da distância total ida S=\dfrac{145T}{2}. Como T=\dfrac{2S}{145}, os intervalos e coordenadas ficam:
  • Para 0\le t\le \dfrac{S}{145}:
x(t)=55\,t.
  • Para \dfrac{S}{145}\le t\le \dfrac{2S}{145}:
x(t)=\frac{55S}{145}+90\!\left(t-\frac{S}{145}\right).
Descrição do gráfico (esquemática): começa em (0,0) com uma reta de inclinação 55 até o ponto \left(\dfrac{T}{2},\dfrac{55T}{2}\right); a partir desse ponto segue outra reta mais inclinada (mais íngreme) com inclinação 90 até atingir x(T)=S. É um gráfico em dois segmentos lineares com descontinuidade de derivada (a inclinação muda) em t=T/2, mas contínuo em x.

Resposta

(a) 72{,}5\\ \mathrm{km/h}\) (b) \(\dfrac{9900}{145}\approx68{,}28\\ \mathrm{km/h}\) \text{(c)} \(\approx70{,}33\\ \mathrm{km/h}\) (d) \(0\\ \mathrm{km/h}\) (velocidade média vetorial) (e) \(x(t)=\begin{cases}55\,t, & 0\le t\le \dfrac{T}{2},\\[4pt]\dfrac{55T}{2}+90\!\left(t-\dfrac{T}{2}\right), & \dfrac{T}{2}\le t\le T,\end{cases} onde T é o tempo total da ida (ou, em termos da distância ida S, usar T=\dfrac{2S}{145}).]

Exercícios relacionados