- Você dirige do Rio a São Paulo metade do tempo a
e a outra metade a
. Na volta, você viaja metade da distância a
e a outra metade a
. Qual é a velocidade escalar média (a) na viagem do Rio a São Paulo, (b) na viagem de São Paulo ao Rio, e (c) na viagem inteira? (d) Qual é a velocidade média na viagem inteira? (e) Plote o gráfico de
em função de
para o item (a), supondo que o movimento ocorre no sentido positivo de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as perguntas listadas abaixo.
Informações fornecidas:
- Velocidades:
e . - Ida (Rio
São Paulo): metade do tempo a e a outra metade do tempo a . - Volta (São Paulo
Rio): metade da distância a e a outra metade da distância a . - No item (e) supõe-se que o movimento do item (a) ocorre no sentido positivo de
.
Perguntas pedidas:
(a) Qual é a velocidade escalar média na viagem do Rio a São Paulo?
(b) Qual é a velocidade escalar média na viagem de São Paulo ao Rio?
(c) Qual é a velocidade escalar média na viagem inteira (ida + volta)?
(d) Qual é a velocidade média (vetorial) na viagem inteira?
(e) Plote (descreva) o gráfico de em função de
para o item (a), assumindo
positivo no sentido do movimento.
(a) Qual é a velocidade escalar média na viagem do Rio a São Paulo?
(b) Qual é a velocidade escalar média na viagem de São Paulo ao Rio?
(c) Qual é a velocidade escalar média na viagem inteira (ida + volta)?
(d) Qual é a velocidade média (vetorial) na viagem inteira?
(e) Plote (descreva) o gráfico de
Passo 2
Conceitos essenciais (muito importantes para a prova) — o que é “velocidade escalar média” e “velocidade média (vetorial)”:
- Definição de velocidade escalar média (ou simplesmente “velocidade média” usada em contexto de distância):
Aqui a “distância total” é a soma das distâncias efetivamente percorridas, sem considerar direção.
- Definição de velocidade média vetorial (às vezes chamada apenas “velocidade média” em física vetorial):
O deslocamento total é a diferença vetorial entre posição final e inicial; para ida e volta exatamente sobre a mesma linha, o deslocamento pode ser zero.
- Casos úteis para lembrar:
- Se se anda a duas velocidades
e durante tempos iguais, a velocidade escalar média é a média aritmética:
porque distâncias percorridas são e e o tempo total é . - Se se percorre metades iguais da distância com velocidades
e , a velocidade escalar média é a média harmônica (para duas parcelas iguais de distância):
porque os tempos são e . - Se se anda a duas velocidades
Esses fatos serão usados diretamente nos itens (a) e (b). Para o item (c) vamos combinar tempos e distâncias dos dois trechos; para (d) observaremos o deslocamento total.
Passo 3
Item (a): velocidade escalar média na viagem do Rio a São Paulo (metade do tempo a
e metade do tempo a
).
Explicação didática: quando as duas velocidades ocorrem durante tempos iguais, a velocidade média é a média aritmética das velocidades (ver motivo no passo 2). Aplicando:
Cálculo:
Passo 4
Item (b): velocidade escalar média na viagem de São Paulo ao Rio (metade da distância a
e metade da distância a
).
Explicação didática: quando as duas parcelas correspondem a metades iguais da distância, usa-se a média harmônica. Derivação curta: para distância total
, cada metade tem
; os tempos são
e
. O tempo total é
Assim a velocidade média é
Aplicando
e
:
Passo 5
Item (c): velocidade escalar média na viagem inteira (ida + volta), isto é, considerando a distância total percorrida (ida + volta) e o tempo total gasto.
Vamos fazer de forma geral e limpa usando a distância entre as cidades
(uma incógnita que vai se cancelar no resultado).
- Ida: por hipótese, a ida levou um tempo
tal que a metade do tempo foi a e a outra metade a . A distância ida pode ser escrita em função de :
Assim o tempo da ida é
- Volta: metade da distância
a e metade a . O tempo da volta é
- Tempo total (ida + volta):
- Distância total percorrida
. Logo a velocidade escalar média total é
Agora fazemos o cálculo numérico:
Valor numérico aproximado:
Comentário intuitivo: o valor fica entre a média aritmética da ida (
) e a média harmônica da volta (
), e reflete o peso relativo dos tempos gastos em cada trecho.
Passo 6
Item (d): velocidade média vetorial na viagem inteira (ida + volta).
Definição (relembrando): velocidade média vetorial é deslocamento total dividido pelo tempo total:
Para um percurso ida e volta sobre a mesma linha, a posição final coincide com a inicial, então o deslocamento total é zero:
Em módulo isso significa velocidade média vetorial igual a
.
Passo 7
Item (e): gráfico de
em função de
para o item (a), assumindo movimento no sentido positivo de
.
Vamos construir a função peça a peça. Tome o tempo total da ida como
. Para
você viaja com velocidade
, e para
com
. Escolhendo origem
(Rio), temos:
- Para
:
- No instante
a posição é
- Para
, mantendo continuidade:
Também pode-se eliminar
em favor da distância total ida
. Como
, os intervalos e coordenadas ficam:
- Para
:
- Para
:
Descrição do gráfico (esquemática): começa em
com uma reta de inclinação
até o ponto
; a partir desse ponto segue outra reta mais inclinada (mais íngreme) com inclinação
até atingir
. É um gráfico em dois segmentos lineares com descontinuidade de derivada (a inclinação muda) em
, mas contínuo em
.
Resposta
(a)
onde
é o tempo total da ida (ou, em termos da distância ida
, usar
).]