Se a posição de um objeto é descrita pela função vetorial
, faça um gráfico de
e de
no mesmo sistema de eixos e mostre que o menor valor de
ocorre para
. Dado adicional: a aceleração é definida como
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Fazer um gráfico no mesmo sistema de eixos de
, e de (onde ). - Mostrar que o menor valor de
ocorre em .
Informações dadas no enunciado:
- A posição é
. - A aceleração é
.
Não há restrição explícita sobre o domínio de
, então vamos considerar
(ou pelo menos
se for tempo), e obter as fórmulas de
para depois discutir o gráfico e o mínimo.
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular derivadas. Relembrando (aula rápida): a derivada de
é
(regra do poder). Derivadas são feitas componente a componente para vetores.
Calculemos a velocidade
e depois a aceleração
.
A componente
da posição é
.
A componente
da posição é
.
Portanto temos as fórmulas explícitas (muito úteis para o gráfico):
Passo 3
Agora explico como obter
, a magnitude do vetor aceleração.
Para um vetor
, a magnitude (norma) é dada por
Substituindo as componentes encontradas:
Uma forma equivalente, só reordenando, é
Passo 4
Interpretação gráfica (como desenhar no mesmo sistema de eixos):
-
é uma reta horizontal constante no valor . -
é uma reta com intercepto quando e declive ; ou seja, cruza o eixo em (porque ). -
é uma curva simétrica em torno de : é a raiz quadrada de uma soma de constante com um múltiplo de , logo tem um mínimo em e cresce quando se afasta de .
Para esboçar numericamente alguns pontos úteis (ajuda a traçar):
Observação prática:
é simétrica em torno de
, porque depende de
. No mesmo gráfico, trace:
- a linha horizontal
(cor para ); - a linha inclinada
(cor para ); - a curva suave
(cor para ).
Passo 5
Mostrando rigorosamente que o mínimo de
ocorre em
.
Método direto e simples: como
para todo
, da expressão
temos que
é sempre maior ou igual a
. A igualdade (ou seja, o menor valor) ocorre exatamente quando
, ou seja, quando
. Portanto
para todo
e
é o mínimo global.
Opcionalmente, pelo cálculo:
Zerando
dá
. Observe que
(ou veja que a expressão é mínima por ser soma de quadrado), confirmando mínimo em
.
Passo 6
Resumo didático e incentivo rápido: a tarefa pediu o gráfico conjunto e a demonstração do mínimo. As fórmulas fáceis para desenhar já estão:
é constante,
é reta decrescente, e
é uma curva com mínimo em
. Se for para a prova, decore: ao enfrentar uma posição polinomial, derive componente a componente, calcule magnitude por raiz quadrada da soma dos quadrados, e, se a magnitude vier na forma
, o mínimo é em
.