Se a posição de um objeto é descrita pela função vetorial \vec{s}(t)=t^{2} \hat{\imath}+\left(3 t^{2}-\right. \left.t^{3}\right) \hat{\jmath}, faça um gráfico de a_{x}(t), a_{y}(t) e de a(t) no mesmo sistema de eixos e mostre que o menor valor de a(t) ocorre para t=1. Dado adicional: a aceleração é definida como \vec{a}(t)=d^{2} \vec{s}(t) / d t^{2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Fazer um gráfico no mesmo sistema de eixos de a_x(t), a_y(t) e de a(t) (onde a(t)=\|\vec{a}(t)\|).
  • Mostrar que o menor valor de a(t) ocorre em t=1.
Informações dadas no enunciado:
  • A posição é \vec{s}(t)=t^{2}\,\hat{\imath}+\bigl(3t^{2}-t^{3}\bigr)\,\hat{\jmath}.
  • A aceleração é \vec{a}(t)=\dfrac{d^{2}\vec{s}(t)}{dt^{2}}.
Não há restrição explícita sobre o domínio de t, então vamos considerar t\in\mathbb{R} (ou pelo menos t\ge 0 se for tempo), e obter as fórmulas de a_x(t),a_y(t),a(t) para depois discutir o gráfico e o mínimo.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular derivadas. Relembrando (aula rápida): a derivada de t^{n} é n t^{n-1} (regra do poder). Derivadas são feitas componente a componente para vetores.
Calculemos a velocidade \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{s}}{dt} e depois a aceleração \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}.
A componente x da posição é s_x(t)=t^{2}.
v_x(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=2t, \qquad a_x(t)=\frac{d}{dt}\bigl(v_x(t)\bigr)=\frac{d}{dt}\bigl(2t\bigr)=2.
A componente y da posição é s_y(t)=3t^{2}-t^{3}.
v_y(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}-t^{3}\bigr)=6t-3t^{2}, \qquad a_y(t)=\frac{d}{dt}\bigl(v_y(t)\bigr)=\frac{d}{dt}\bigl(6t-3t^{2}\bigr)=6-6t.
Portanto temos as fórmulas explícitas (muito úteis para o gráfico):
a_x(t)=2, \qquad a_y(t)=6-6t.

Passo 3

Agora explico como obter a(t), a magnitude do vetor aceleração.
Para um vetor \vec{a}(t)=a_x(t)\,\hat{\imath}+a_y(t)\,\hat{\jmath}, a magnitude (norma) é dada por
a(t)=\|\vec{a}(t)\|=\sqrt{a_x(t)^2 + a_y(t)^2}.
Substituindo as componentes encontradas:
a(t)=\sqrt{\,2^{2} + \bigl(6-6t\bigr)^{2}\,} =\sqrt{4 + 36(1-t)^{2}}.
Uma forma equivalente, só reordenando, é
a(t)=\sqrt{4 + 36(t-1)^{2}}.

Passo 4

Interpretação gráfica (como desenhar no mesmo sistema de eixos):
  • a_x(t)=2 é uma reta horizontal constante no valor 2.
  • a_y(t)=6-6t é uma reta com intercepto 6 quando t=0 e declive -6; ou seja, cruza o eixo t em t=1 (porque 6-6\cdot1=0).
  • a(t)=\sqrt{4 + 36(t-1)^{2}} é uma curva simétrica em torno de t=1: é a raiz quadrada de uma soma de constante com um múltiplo de (t-1)^2, logo tem um mínimo em t=1 e cresce quando t se afasta de 1.
Para esboçar numericamente alguns pontos úteis (ajuda a traçar):
\begin{aligned} &t=0:\; a_x(0)=2,\; a_y(0)=6,\; a(0)=\sqrt{4+36}= \sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx6{,}3249,\\\ &t=1:\; a_x(1)=2,\; a_y(1)=0,\; a(1)=\sqrt{4+0}=2,\\\ &t=2:\; a_x(2)=2,\; a_y(2)=6-12=-6,\; a(2)=\sqrt{4+36}=2\sqrt{10}\approx6{,}3249. \end{aligned}
Observação prática: a(t) é simétrica em torno de t=1, porque depende de (t-1)^{2}. No mesmo gráfico, trace:
  • a linha horizontal y=2 (cor para a_x);
  • a linha inclinada y=6-6t (cor para a_y);
  • a curva suave y=\sqrt{4+36(t-1)^2} (cor para a).

Passo 5

Mostrando rigorosamente que o mínimo de a(t) ocorre em t=1.
Método direto e simples: como (t-1)^{2}\ge 0 para todo t, da expressão
a(t)=\sqrt{4 + 36(t-1)^{2}}
temos que a(t) é sempre maior ou igual a \sqrt{4}=2. A igualdade (ou seja, o menor valor) ocorre exatamente quando (t-1)^{2}=0, ou seja, quando t=1. Portanto a(t)\ge 2 para todo t e a(1)=2 é o mínimo global.
Opcionalmente, pelo cálculo:
a'(t)=\frac{1}{2\sqrt{4+36(t-1)^{2}}}\cdot 72(t-1) =\frac{36(t-1)}{\sqrt{4+36(t-1)^{2}}}.
Zerando a'(t) t=1. Observe que a''(1)>0 (ou veja que a expressão é mínima por ser soma de quadrado), confirmando mínimo em t=1.

Passo 6

Resumo didático e incentivo rápido: a tarefa pediu o gráfico conjunto e a demonstração do mínimo. As fórmulas fáceis para desenhar já estão: a_x é constante, a_y é reta decrescente, e a é uma curva com mínimo em t=1. Se for para a prova, decore: ao enfrentar uma posição polinomial, derive componente a componente, calcule magnitude por raiz quadrada da soma dos quadrados, e, se a magnitude vier na forma \sqrt{\text{const} + k (t-t_0)^2}, o mínimo é em t=t_0.

Resposta

a_x(t)=2
a_y(t)=6-6t
a(t)=\sqrt{4+36(t-1)^{2}}. O menor valor de a(t) ocorre em t=1 e vale a(1)=2.

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