Se
é a soma vetorial de
e
, ou seja, se
, o que deve ser verdadeiro se
? O que deve ser verdadeiro, se
?
Passo 1
O enunciado dá que
. Perguntas claras:
- O que deve ser verdadeiro se
(aqui são as normas, isto é, , , )? - O que deve ser verdadeiro se
(norma do vetor resultante nula)?
Informações relevantes: temos as normas
e o ângulo
entre
e
. Não começarei a resolver ainda — só listei o que o problema pede e os dados disponíveis.
Passo 2
Lembrete útil (fórmula que vamos usar) — relação entre norma do somatório e produto escalar:
Explicando cada peça:
-
é a norma (comprimento) do vetor . -
é o produto escalar, que geometricamente vale
onde
é o ângulo entre
e
. Portanto podemos escrever
Isto é a versão vetorial do Teorema de Cossenos: serve para encontrar a norma do somatório a partir das normas individuais e do ângulo entre eles.
Passo 3
Caso 1: suponha
. Vou elevar ao quadrado ambos os lados para comparar com a fórmula do passo anterior:
Pela relação do passo 2 temos também
Igualando as duas expressões para
:
Cancelando
e dividindo por
(caso
) obtemos
Interpretação didática:
significa que os vetores
e
têm a mesma direção e o mesmo sentido (são colineares e apontam para o mesmo lado). Geometricamente, para que a norma do somatório seja exatamente a soma das normas, os vetores devem “encaixar” na mesma reta e apontar na mesma direção (não há componente que cancele).
Caso degenerado: se
ou
(um vetor nulo), a divisão por
não vale; nesse caso a igualdade
também pode ocorrer de forma trivial (por exemplo, se
então
). Então a conclusão completa é: ou
(vetores paralelos e mesmo sentido) ou um dos vetores é nulo.
Passo 4
Caso 2: suponha
. Então a norma do vetor resultante é zero, ou seja
. Como a norma de um vetor é zero se e somente se o vetor é o vetor nulo, temos
Da igualdade
segue que as normas são iguais:
e o ângulo entre eles é
(180 graus), pois vetores opostos têm
.
Também podemos ver esse resultado pela fórmula do passo 2: colocando
em
obtemos
Se
a única forma consistente dessa expressão ser
é quando
, levando a
e
. O caso degenerado de
e
também satisfaz
(ambos vetores nulos).
Passo 5
Resumo geométrico intuitivo (para lembrar na prova):
- Se a norma do resultante é a soma das normas, os vetores vão na mesma linha e no mesmo sentido — nada é perdido por projeção; é como colocar dois segmentos lado a lado na mesma direção.
- Se a norma do resultante é zero, os vetores se anulam mutuamente — têm mesma magnitude e sentidos opostos; formam um par igual-oposto que fecha o triângulo degenerate.
Resposta
Se
:
e
são colineares e têm o mesmo sentido (
), ou um dos vetores é nulo.
Se
:
(ou seja, têm mesma magnitude
e sentidos opostos,
; caso degenerado: ambos nulos).