Se \vec{c} é a soma vetorial de \vec{a} e \vec{b}, ou seja, se \vec{c}=\vec{a}+\vec{b}, o que deve ser verdadeiro se c=a+b ? O que deve ser verdadeiro, se c=0 ?

Passo 1

O enunciado dá que \vec{c}=\vec{a}+\vec{b}. Perguntas claras:
  • O que deve ser verdadeiro se c=a+b (aqui a,b,c são as normas, isto é, a=\|\vec{a}\|, b=\|\vec{b}\|, c=\|\vec{c}\|)?
  • O que deve ser verdadeiro se c=0 (norma do vetor resultante nula)?
Informações relevantes: temos as normas a,b,c e o ângulo \theta entre \vec{a} e \vec{b}. Não começarei a resolver ainda — só listei o que o problema pede e os dados disponíveis.

Passo 2

Lembrete útil (fórmula que vamos usar) — relação entre norma do somatório e produto escalar:
c^2=\|\vec{c}\|^2=\|\vec{a}+\vec{b}\|^2=(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})=a^2+b^2+2\,\vec{a}\cdot\vec{b}.
Explicando cada peça:
  • \|\vec{v}\| é a norma (comprimento) do vetor \vec{v}.
  • \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto escalar, que geometricamente vale
\vec{a}\cdot\vec{b}=ab\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Portanto podemos escrever
c^2=a^2+b^2+2ab\cos\theta.
Isto é a versão vetorial do Teorema de Cossenos: serve para encontrar a norma do somatório a partir das normas individuais e do ângulo entre eles.

Passo 3

Caso 1: suponha c=a+b. Vou elevar ao quadrado ambos os lados para comparar com a fórmula do passo anterior:
c^2=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab.
Pela relação do passo 2 temos também
c^2=a^2+b^2+2ab\cos\theta.
Igualando as duas expressões para c^2:
a^2+b^2+2ab=a^2+b^2+2ab\cos\theta.
Cancelando a^2+b^2 e dividindo por 2ab (caso ab\neq0) obtemos
1=\cos\theta \quad\Rightarrow\quad \theta=0.
Interpretação didática: \cos\theta=1 significa que os vetores \vec{a} e \vec{b} têm a mesma direção e o mesmo sentido (são colineares e apontam para o mesmo lado). Geometricamente, para que a norma do somatório seja exatamente a soma das normas, os vetores devem “encaixar” na mesma reta e apontar na mesma direção (não há componente que cancele).
Caso degenerado: se a=0 ou b=0 (um vetor nulo), a divisão por ab não vale; nesse caso a igualdade c=a+b também pode ocorrer de forma trivial (por exemplo, se \vec{a}=\vec{0} então c=b). Então a conclusão completa é: ou \theta=0 (vetores paralelos e mesmo sentido) ou um dos vetores é nulo.

Passo 4

Caso 2: suponha c=0. Então a norma do vetor resultante é zero, ou seja \|\vec{a}+\vec{b}\|=0. Como a norma de um vetor é zero se e somente se o vetor é o vetor nulo, temos
\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}\quad\Rightarrow\quad \vec{b}=-\vec{a}.
Da igualdade \vec{b}=-\vec{a} segue que as normas são iguais:
b=\|\vec{b}\|=\|-\vec{a}\|=\|\vec{a}\|=a,
e o ângulo entre eles é \theta=\pi (180 graus), pois vetores opostos têm \cos\theta=-1.
Também podemos ver esse resultado pela fórmula do passo 2: colocando c=0 em c^2=a^2+b^2+2ab\cos\theta obtemos
0=a^2+b^2+2ab\cos\theta \quad\Rightarrow\quad \cos\theta=-\frac{a^2+b^2}{2ab}.
Se a,b>0 a única forma consistente dessa expressão ser -1 é quando a=b, levando a \cos\theta=-1 e \theta=\pi. O caso degenerado de a=0 e b=0 também satisfaz c=0 (ambos vetores nulos).

Passo 5

Resumo geométrico intuitivo (para lembrar na prova):
  • Se a norma do resultante é a soma das normas, os vetores vão na mesma linha e no mesmo sentido — nada é perdido por projeção; é como colocar dois segmentos lado a lado na mesma direção.
  • Se a norma do resultante é zero, os vetores se anulam mutuamente — têm mesma magnitude e sentidos opostos; formam um par igual-oposto que fecha o triângulo degenerate.

Resposta

Se c=a+b: \vec{a} e \vec{b} são colineares e têm o mesmo sentido ( \theta=0), ou um dos vetores é nulo.
Se c=0: \vec{b}=-\vec{a} (ou seja, têm mesma magnitude a=b e sentidos opostos, \theta=\pi; caso degenerado: ambos nulos).

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